En el texto de análisis complejo de Ahlfors afirma que:
Si $|u| < 1$ tenemos por poder-ser $$ \log \left\lvert E_h(u) \right\rvert \leq \frac{1}{h+1} |u|^{h+1}+\frac{1}{h+2}|u|^{h+2}+\dots$$
donde $$E_h(u)=(1-u)e^{u+\frac{1}{2}u^2+ \dots\frac{1}{h}u^h} $$
No veo por qué es cierta esta desigualdad. Quiero utilizar la serie de potencias del logaritmo, pero el valor absoluto se interpone en el camino.
P.D. $u$ es complejo y $h$ es un número entero positivo.
El logaritmo del valor absoluto de un número complejo $\neq 0$ no es más que la parte real del logaritmo, cualquiera que sea la rama del logaritmo elegida.
Para $\lvert u\rvert < 1$ podemos elegir la rama principal, y tenemos
$$\begin{align} \log E_h(u) &= \left(u + \frac12u^2 + \dotsb \frac{1}{h}u^h\right) + \log (1-u)\\ &= \sum_{k=1}^h \frac{u^k}{k} - \sum_{k=1}^\infty \frac{u^k}{k}\\ &= -\sum_{k=h+1}^\infty \frac{u^k}{k}. \end{align}$$
Ahora estima la parte real por el valor absoluto para obtener
$$\log \lvert E_h(u)\rvert \leqslant \sum_{k=h+1}^\infty \frac{\lvert u\rvert^k}{k}.$$
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