Sea $S$ sea un conjunto finito en el que el grupo $G$ opera transitivamente, y que $U$ sea un subconjunto de $S$ . Demostrar que cada elemento de $S$ está en el mismo número de conjuntos $gU$ .
Mi intento: Sé que hay una órbita de $S$ . Además, puesto que $G$ funciona de forma transitoria, es lo mismo que $G$ funciona con $G/H$ . Pero no se por donde seguir, cualquier ayuda sera apreciada.
Supongamos que $a$ y $b$ son elementos de $S$ . Queremos exhibir una biyección
$$\{gU\ni a\}\xrightarrow{\sim}\{gU\ni b\}.$$
(El primero es el conjunto de $gU$ s que contienen $a$ y el segundo el conjunto de $gU$ s que contienen $b$ .)
Por transitividad tenemos $b=ha$ para algunos $h\in G$ . Y $a\in gU\Leftrightarrow ha\in hgU$ . Entonces, ¿qué podría conjeturar que es este mapa biyectivo, explícitamente?
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