pruebe $x+1 = 1+x$ utilizando los axiomas de Peano

Question

Quiero probar que $x+1 = 1+x$ ( sin tener en cuenta " $x+0=x$ ", y estoy usando la vieja definición de los axiomas de Peano )
Esto es mi intento :
Usando esta base:

$(1):1+x = x^+$
$(2):x^+ +y=(x+y)^+$

En realidad mi idea es que si los números sucesores son iguales entonces los números reales son iguales también. (basado en los axiomas de Peano) $$(1+x)^+ = 1^+ + x = (1+1)+x$$
y $$(x+1)^+ = x^+ +1 = (1+x)+1$$
Pero me quedé atascado en cómo demostrar que estos dos son iguales.

Que alguien me ayude :)

Answer 1

Demostraremos por inducción que $x+1=x^+$ .

Base : $1+1=1^+$ de (1).

Paso de inducción : asumir $x+1=x^+$ y demostrar que $x^++1=(x^+)^+$ .

Por (2): $x^++1 = (x+1)^+ = (x^+)^+$ utilizando hipótesis de inducción y sustitución por igualdad .

Una vez demostrado que $x+1=x^+$ para cada $x$ utilizamos (1) y la transitividad y simetría de la igualdad para concluir que:

$x+1=1+x$ .