Intersección de cónicas usando la representación de la matriz de

Question

Me encontré con una muy interesante sección de un artículo de wikipedia sobre cónicas: http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section#Intersecting_two_conics

Estoy tratando de trabajar un par de ejemplos para agregar a la página.

Ejemplo 1 - (este resulta ser bastante directo - ver Ejemplo 2 a continuación para un caso más general):

Tomar estos dos hipérbolas, Q1 y Q2: P1: $$x^2 - y^2 - 2 = 0$$ y Q2: $$.5x^2 - y^2 - 1 = 0$$

Sus gráficos, que muestran que tienen 2 real intersecciones están aquí: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28x^2+-+y^2+-+2+%3D+0+y+.5x^2+-+y^2+-+1+%3D+0%29

En primer lugar, hemos de construir sus matrices: $$Q_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -2\end{bmatrix}$$ $$Q_2 = \begin{bmatrix}1/2 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

A continuación, establecemos $$det(\lambda Q_1 + \mu Q_2) = 0$$

La expansión de este determinante, obtenemos la ecuación: $$(\lambda + \frac{\mu}{2})(-\lambda-\mu)(-2\lambda-\mu) = 0$$

Aquí, cada uno de los 3 factores que se pueden establecer independientemente igual a cero para encontrar los 3 soluciones: $$\mu = -2\lambda$$ , $$\mu = -\lambda$$, and $$\mu = -2\lambda$$ , respectivamente.

Alternativamente, se podría establecer $\lambda=1$ y solucionar $\mu^3/2+(5 \mu^2)/2+4 \mu+2$ a través de algoritmos.

Hay tres cónicas degeneradas? I. e. si tomamos una de las soluciones de ($\mu = -\lambda$), y utilizarla para calcular una particular combinación lineal (enchufar a la combinación lineal de la ecuación de $\lambda C_1 + \mu C_2$), obtenemos:

$$\lambda C_1 -\lambda C_2$$

que es todavía una expresión con un desconocido? Qué significa que puede elegir cualquiera de $\lambda$ para obtener una cónica degenerada? Es decir, $\lambda=1$ para obtener:

$$C_0 = \begin{bmatrix}.5 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & -1\end{bmatrix}$$

Ahora podemos identificar dos líneas coincidentes constitución de la cónica degenerada. Nos pusimos $x^T C_0 x$ igual a cero, y tenemos $$.5x^2 - 1=0$$. We see that $$x=+/-\sqrt{2}$$ (a pair of vertical lines). Intersecting these lines with the conics will give the intersection points of the original conics. Here, since the lines are vertical we can simply substitute the values $$x=\sqrt{2}$$ and $$x=-\sqrt{2}$$ para obtener las intersecciones (sólo hay 2 en este problema, pero puede haber hasta 4):

De Q_1: $$(\sqrt{2})^2 - y^2 - 2 = 0 \rightarrow y=0$$ $$(-\sqrt{2})^2 - y^2 - 2 = 0 \rightarrow y=0$$

tenemos puntos de intersección $$(\sqrt{2}, 0)$$ and $$(-\sqrt{2},0)$$.

De Q_2: $$.5(\sqrt{2})^2 - y^2 - 1 = 0 \rightarrow y=0$$ $$.5(-\sqrt{2})^2 - y^2 - 1 = 0 \rightarrow y=0$$

tenemos puntos de intersección $$(\sqrt{2}, 0)$$ and $$(-\sqrt{2},0)$$.

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Ejemplo #2

Tomar estos dos hipérbolas, Q1 y Q2: P1: $$.5x^2 - y^2 + .1xy + 1 = 0$$ y Q2: $$-x^2 + y^2 + 1 = 0$$

Sus gráficos, que muestran que tienen 4 real intersecciones están aquí:

En primer lugar, hemos de construir sus matrices: $$Q_1 = \begin{bmatrix}.5 & .05 & 0\\.05 & -1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ $$Q_2 = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$

A continuación, establecemos $$det(\lambda Q_1 + \mu Q_2) = 0$$

La expansión de este determinante, obtenemos la ecuación: $$-.5\lambda^3 + \lambda^2\mu +.5\lambda\mu^2-\mu^3 - .0025\lambda^3 - .0025\lambda^2\mu$$

Fijando arbitrariamente $\lambda=1$ y en expansión, se obtiene la ecuación de $$-\mu^3+.5\mu^2+.9975\mu-.5025=0$$

El 3 (aproximado) de las soluciones son: $$\mu = -1$$ , $$\mu = .505$$, and $$\mu = .99495$$ , respectivamente.

Va de nuevo y la construcción de la cónica degenerada de la matriz (con $\lambda=1$$\mu=-1$), tenemos (Puede solo tienes que elegir una de las 3 soluciones, que viene de la determinante de la ecuación de como lo hice?)

$$C_0 = \begin{bmatrix}1.5 & .05 & 0\\.05 & -2 & 0\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

Ahora $$x^T C_0 x = 0 = $$ we get $$1.5x^2 + .1xy-2y^2 = 0$$.

La solución para $y$, podemos ver que las dos líneas son $$y=−0.841386x$$ and $$y=0.891386x$$.

Estas líneas se cortan las cónicas en exactamente los puntos de intersección de las cónicas, como se ve aquí: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot%28.5x^2-y^2%2B.1xy%2B1%3D0+and+-x^2%2By^2%2B1%3D0+and+y+%3D+%E2%88%920.841386 x+and+y%3D0.891386x%29

Los puntos de intersección se puede encontrar mediante la sustitución de la ecuación de ambas líneas en la ecuación de ambos cónicas. Por ejemplo, la sustitución de $$y=−0.841386x$$ en $$.5x^2 - y^2 + .1xy + 1 = 0$$ tenemos $$x=1.8505$$ Conectando en la ecuación de la línea de $y=−0.841386x$, vemos que un punto de intersección es $(1.8505, -1.5569)$. Los otros 3 puntos de intersección que se puede encontrar de forma idéntica.

Answer 1

espero que me puede ayudar en la mejora de estos ejemplos. Yo soy el autor de ese breve descripción de cómo intesect dos cónicas que le está dando dolores de cabeza!

Voy a concentrarse en primer lugar en el ejemplo 1. En realidad utiliza dos tangente hyperbolae. Que podría da algún error numérico al calcular la intersección utilizando un algoritmo numérico (como la que yo escribí para Matlab www.mathworks.it/matlabcentral/fileexchange/28318-conics-intersection).

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Vamos a considerar dos de intersección parabolae como: $$C_1 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1/2\\0 & -1/2 & 0\end{bmatrix}$$ $$C_2 = \begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\0 & 0 & -1/2\\0 & -1/2 & -2\end{bmatrix}$$

cuyas ecuaciones son $x^2 - y = 0$ $3x^2 - y - 2 = 0$ respectivamente. La intersección se puede ver en el siguiente diagrama:

Es posible verificar que estos dos cónicas intersecta en dos puntos $$p_1 = \begin{bmatrix}1 & -1 & 1\end{bmatrix}$$ $$p_2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\end{bmatrix}$$ expresado en coordenadas homogéneas.

Ahora vamos a calcular la intersección numéricamente. Por esta razón vamos a construir un lápiz de cónicas que contiene C1 y C2, es decir,

$$C_\lambda = C_1 + \lambda C_2 $$

Observe que los puntos de intersección de la mentira en $C_\lambda$ para cualquier valor de $\lambda$, yo.e:

$$ p_1^T C_\lambda p_1 = 0 \quad \forall \lambda $$ $$ p_2^T C_\lambda p_2 = 0 \quad \forall \lambda $$

Vamos a aprovechar esta propiedades mediante la detección de un "fácil de manejar" cónica que pertenece al lápiz. En particular, aprovechamos la cónica del lápiz que está representado por líneas rectas de intersección de ambos $p_1$$p_2$. Esta es una cónica degenerada (de hecho es un conjunto de líneas rectas), cuya cónica de la matriz deterimant se está desvaneciendo.

Así que estamos buscando el valor de $\lambda$ tal que $det(C_\lambda) = 0$. $\lambda$ se solicita mediante el polinomio característico del lápiz de cónicas.

En un principio nos transformar el lápiz de cónicas como:

$$ -(C_1 + \lambda C_2) \cdot (-C_2)^{-1} = \lambda I - C_1 \cdot (-C_2)^{-1} = \lambda I - A$$

La solución de $det(C_1 + \lambda C_2) = 0$ es equivalente a resolver $det(\lambda I - A) = 0$. En esta nueva formulación, aunque, $\lambda$ representa el autovalor de la matriz a y $det(\lambda I - A)$ es el polinomio característico de A.

En nuestro ejemplo $$A = C_1 \cdot (-C_2)^{-1} = \begin{bmatrix}-1/3 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 4 & -1\end{bmatrix}$$

Podemos entonces resolver el polinomio característico (una de 3er grado polynom) por $\lambda$ $$det(\lambda I - A) = 0$$ Este polinomio característico de una matriz de 3x3) puede ser escrita como: $$-\lambda^3 + \lambda^2 trace(A) - \lambda (det(A_{12}) + det(A_{23}) +det(A_{13})) +det(A) = 0$$

En nuestro caso, las soluciones de $$-\lambda^3 + 7/3 \lambda^2 - 5/3 \lambda - 1/3 = 0$$ son (-1, -1, -1/3). Ya que estos son todos los valores reales que podemos seleccionar una de ellas y utilizarla para identificar nuestros cónica degenerada del lápiz. En particular, $\lambda = -1$ da

$$C_d = C_1 -1 \cdot C_2 = \begin{bmatrix}-2 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 2\end{bmatrix}$$

cuyo determinante es, de hecho, cero.

Como dijimos $C_d$ representa una cónica degenerada. En particular, puede ser descompuesto como la multiplicación de dos líneas rectas m y l: $$C_d = m \cdot l^T + l \cdot m^T $$

(aquí están los detalles sobre cómo llevar a cabo la Descomposición de una cónica degenerada)

En particular, en nuestro caso $$l = \begin{bmatrix}1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ $$m = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ representan dos líneas verticales.

Por la intersección de las dos líneas con una de las dos cónicas (decir $C_1$), llegamos a los dos puntos de intersección $p_1$$p_2$. Esto se realiza mediante la resolución de sistemas:

$$ \left\{ \begin{align} p_1^T \cdot C_1 \cdot p_1 &= 0 \\ l \cdot p_1 &= 0 \\ \end{align} \right. $$

$$ \left\{ \begin{align} p_2^T \cdot C_1 \cdot p_2 &= 0 \\ m \cdot p_2 &= 0 \\ \end{align} \right. $$