Rep. Fiel vs. Rep. Infiel

Question

Entiendo el siguiente ejemplo

"la representación natural del grupo simétrico $S_n$ en $n$ dimensiones por matrices de permutación, lo que es ciertamente fiel. Aquí el orden del grupo es n! mientras que el $n×n$ forman un espacio vectorial de dimensión n2. En cuanto $n$ es como mínimo $4$ el recuento de dimensiones significa que debe existir cierta dependencia lineal entre las matrices de permutación (ya que $24 > 16$ ); esta relación significa que el módulo para el álgebra de grupo no es fiel".

Mi pregunta es, además, ¿cuáles son las formas sencillas de explicar la distinción entre representación fiel y representación no fiel? ¿Con palabras sencillas a un estudiante de matemáticas de bachillerato o licenciatura?

Answer 1

Fiel significa que cada elemento distinto del grupo corresponde a una matriz de representación distinta.

Un ejemplo trivial de una representación no fiel es la representación trivial en la que cada elemento del grupo se asigna a 1. Esta es una representación, pero no muy "fiel" en el sentido de que no tiene toda la información del grupo en ella.

En cambio, la representación natural de un grupo finito como $S_4$ es fiel. Si lo escribes, verás que hay 24 matrices distintas en la representación.

Answer 2

Si piensas en una representación como una acción lineal de un grupo $G$ en un espacio vectorial $V$ entonces una acción fiel significa que cada elemento no identitario de su grupo mueve el espacio vectorial--así que para cada $g \in G$ hay algo de $v \in V$ para que $g.v\not= v$ . Así que si una representación no es fiel, hay algún elemento de su grupo que no hace nada en absoluto.

Como indican las demás respuestas, si se piensa en una representación como un mapa $G \to GL(V)$ entonces el criterio de fidelidad anterior dice que una representación es fiel si el mapa $G \to GL(V)$ es inyectiva, por lo que una representación fiel realiza $G$ como subgrupo de $GL(V)$ como un grupo de matrices.

Answer 3

Representación fiel es "Una representación que es un monomorfismo".