Expansión de Taylor de $\frac{1}{2-z-z^2}$

Question

El problema es:

Hallar la expansión de Taylor de $f(z):= \dfrac{1}{2-z-z^2}$ en el disco $|z| < 1$

Hasta ahora he utilizado fracciones parciales para obtener $f(z) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1-z} + \dfrac{1}{2+z}\right)$ que luego reescribo como $f(z) = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{1-z} + \dfrac{1}{1-((-1)(1+z))}\right)$ .

Mi problema es que se nos dice específicamente para encontrar la expansión en el disco $|z| < 1$ y mientras $\dfrac{1}{1-z}$ es válido para $|z| < 1$ , $\dfrac{1}{1-((-1)(1+z))}$ es válido para $|1+z| < 1$ . Estoy adivinando que no podemos simplemente decir $f(z) = \dfrac{1}{3}\left(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty z^n + (-1)^n(1+z)^n\right)$ pero no estoy seguro, ya que mis notas no contienen ejemplos de este tipo de dificultad.

Answer 1

Pista: $\frac{1}{1-z}=1+z+z^2+\ldots$ como una progresión geométrica infinitamente descendente. Y $\frac{1}{2+z}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-(-z/2)}=\ldots$ .

Answer 2

$\frac{1}{2-z-z^2}=\frac{ 1 }{ 2} \frac{1}{1-\frac{1}{2}z-\frac{1}{2}z^2}=\frac {1}{2}\sum _{ n = 0 } ^ \infty(\frac { 1 } { 2 } (z+z^2))^{n}$ .

Hecho.

Tenga en cuenta que $|z|\lt 1 $ se deduce que $|\frac {1}{2}(z + z ^ 2 )|\lt \frac {1}{2}(|z|+|z ^ 2|)\lt1$ por lo que está justificado utilizar series geométricas por encima.