¿Puede la regularización dimensional resolver el problema del ajuste fino?

Question

Recientemente he leído que el esquema de regularización dimensional es "especial" porque las divergencias de ley de potencia están ausentes. Se argumentaba que las divergencias de ley de potencia no eran físicas y que no había ningún problema de ajuste fino. Inmediatamente sospeché.

Tomemos $\lambda\phi^4$ teoría. Para la masa renormalizada $m$ (no una masa física) con regularización dimensional, $$ m^2_\text{phys} = m^2(\mu) + m^2_\text{phys}\frac{\lambda}{16\pi^2}\ln({\mu^2}/{m^2_\text{phys}}) $$ Esto parece prometedor, pero $m$ es una masa renormalizada, no un verdadero parámetro de un Lagrangiano que será fijado por alguna nueva física, como la teoría de cuerdas o lo que sea.

Para la masa lagrangiana con un regulador de corte, $$ m^2_\text{phys} = m_0^2(\Lambda) + \frac{\lambda}{16\pi^2} \Lambda^2 $$ que es básicamente lo que entiendo que es el problema del ajuste fino. Necesitaríamos cancelaciones increíbles para $m_0\ll \Lambda$ en la escala baja. Aquí entiendo $m_0$ sea un parámetro "real" determinante de la teoría, mientras que $m$ en la regularización dimensional era sólo un parámetro intermedio ese esquema.

Sospecho que estas dos ecuaciones están relacionadas por la renormalización de la función de onda, $$ m_0^2=Z m^2 = (1+\text{const}\Lambda^2/m^2 + \ldots) m^2 $$ Si no me equivoco, no se ha mejorado mucho con la regularización dimensional. En cierto modo hemos ocultado el ajuste fino en la renormalización de la función de onda.

No ves el ajuste fino en la regularización dimensional porque estás trabajando con una masa renormalizada. La masa lagrangiana desnuda $m_0$ es la que se establece a gran escala por alguna física que desconocemos. Así que es $m_0$ que tenemos que preocuparnos de afinar. Con la regularización dimensional, vemos que $m$ no está afinado, pero eso no es un gran problema.

¿He entendido algo mal? Creo que me estoy perdiendo algo. ¿Puede la regularización dimensional resolver el problema del ajuste fino? ¿Es realmente especial la regularización dimensional?

EDIT

No estoy asociando necesariamente $\Lambda$ con una partícula masiva, sólo una escala masiva en la que $m_0$ se fija en un valor finito.

Me parece que la regularización dimensional no puede ayudarme a entender cómo $m_0$ o la sintonía asociada a su ajuste en la escala alta, sobre todo porque borra la información sobre las divergencias. No tengo ni idea de cómo $\epsilon\to0$ límite.

Puedo hacer algo como,

$$ m_0^2 = Z m^2 = ( 1 +\lambda/\epsilon) m^2\\ m_0^2(\epsilon_1) - m_0^2(\epsilon_2) = m^2 \lambda (1/\epsilon_1 - 1/\epsilon_2) $$ Ahora bien, si tomo $\epsilon_1$ de alguna manera para que corresponda a una escala baja, y $\epsilon_2$ corresponde de alguna manera a una escala alta. $m_0^2(\epsilon_1) $ debe ser pequeño para un escalar ligero. Pero entonces necesito afinar el número masivo del lado derecho con la masa desnuda a una escala alta. El ajuste fino sigue ahí. Hay que admitir que esto es muy informal porque no tengo ni idea de cómo interpretar realmente $\epsilon$

Answer 1

La regularización dimensional (es decir, dim-reg) es un método para regular integrales divergentes. En lugar de trabajar en $4$ dimensiones donde las integrales de bucle son divergentes se puede trabajar en $4-\epsilon$ dimensiones. Este truco permite seleccionar la parte divergente de la integral, como lo hace el uso de un corte. Sin embargo, trata todas las divergencias por igual, por lo que no se puede diferenciar entre una divergencia cuadrática y logarítmica utilizando dim-reg. Todo lo que realmente hace es ocultar el ajuste fino, no solucionar el problema.

Como ejemplo, hagamos la renormalización de la masa de $\phi^4$ teoría. El diagrama da, \begin{equation} \int \frac{ - i \lambda }{ 2} \frac{ i }{ \ell ^2 - m ^2 + i \epsilon } \frac{ d ^4 \ell }{ (2\pi)^4 } = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 }\frac{ - i \lambda }{ 2} \frac{ - i }{ 16 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log 4 \pi - \log m ^2 - \gamma \right) \end{equation} donde he utilizado la ``fórmula magistral'' de la contraportada de Peskin y Schoeder, pág. A.44 (nótese que esta $ \epsilon $ no tiene nada que ver con el $ \epsilon $ en el propagador). Esto da una renormalización de la masa de \begin{equation} \delta m ^2 = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 } \frac{ \lambda }{ 32 \pi ^2 } \left( \frac{ 2 }{ \epsilon } + \log 4 \pi - \log m ^2 - \gamma \right) \end{equation} Manteniendo sólo la parte divergente: \begin{equation} \delta m ^2 = \lim _{ \epsilon \rightarrow 0 } \frac{ \lambda }{ 16 \pi ^2 } \frac{ 1 }{ \epsilon } \end{equation} Este es el mismo resultado al que llegaste arriba, pero utiliza un regulador diferente. Tu regulaste tu integral usando un cut-off, yo lo hice usando dim-reg. La corrección de masa diverge como $ \sim \frac{1}{ \epsilon }$ . Aquí es donde se almacena la sensibilidad a la física UV.

Un límite, que es un número dimensional, te dice algo muy físico, la escala de la nueva física. El $\epsilon$ no es físico, sólo un parámetro útil.

Con un punto de corte, dependiendo de lo grave que sea su divergencia, obtendrá un escalado diferente con el punto de corte; será logarítmico, cuadrático o cuártico (que tiene un significado físico real, a saber, lo sensible que es el resultado a la física de alta energía). Sin embargo, las integrales reguladas dim-reg siempre divergen de la misma manera, como $ \frac{1}{ \epsilon } $ . A Dim-reg no le importa cómo diverge su integral. Puede ser una integral logarítmicamente divergente, pero utilizando dim-reg obtendrá un $ \frac{1}{ \epsilon }$ dependencia. La razón es que $ \epsilon $ no es una cantidad física. Es sólo un truco útil para regular las integrales.

Como dim-reg oculta el tipo de divergencias que tienes, a la gente le gusta decir que dim-reg resuelve el problema del ajuste fino, porque al usarlo no consigues ver lo mala que es tu divergencia. Este punto de vista es claramente erróneo, ya que las divergencias cuadráticas siguen ahí, sólo que parecen estar al mismo nivel que las divergencias logarítmicas cuando se utiliza dim-reg.

En resumen, el problema del ajuste fino no se soluciona realmente con dim-reg, pero si lo utilizas puedes fingir que el problema no existe. Esto no es en absoluto una solución al ajuste fino, a menos que alguien desarrolle una intuición de por qué dim-reg es la forma ``correcta'' de regular tus integrales, es decir, un significado físico para $ \epsilon $ (que no existe).

Answer 2

El ajuste fino que describe no está presente en el $\phi^4$ modelo. Necesitas algunos otros campos pesados alrededor para verlo. Por ejemplo, acople su $\phi$ a un fermión pesado de masa M, Entonces cuando tendrá un cambio en su masa $\delta m^2 \sim M^2 $ . Habrá otros factores de $\pi$ y constantes de acoplamiento y demás, pero el problema persiste: para M grandes tendrás que afinar el parámetro desnudo $m_0$ para obtener el valor correcto de $m_{\text{physical} }$ . Dicho de esta manera, el problema de ajuste fino aparece para un corte duro o dim reg.

Esto se relaciona con su pregunta original de la siguiente manera. Cuando se utiliza un corte duro se integra hasta $\Lambda$ . Pero, ¿qué es $\Lambda$ ? Es la escala de la nueva física, que en este caso es la escala del fermión pesado que hemos integrado, es decir, M.

Así que para responder finalmente a su pregunta - no dim reg absolutamente no resuelve el problema de ajuste fino. Es más, ni siquiera lo oculta, todas las mismas patologías siguen ahí.