Teorema de la racionalidad en geometría birracional

Question

Ahora estoy leyendo la demostración del teorema de la racionalidad en geometría birracional de variedades algebraicas escrita por Kollár-Mori. (pp.86)Lo más confuso es el primer paso que redujo el divisor grande y nef. $H$ al caso libre del punto base.

Desde $H$ es grande y nef, utilizando la propiedad, podemos escribirla linealmente equivalente a la suma de a $\mathbb{Q}$ -Divisor amplio de Cartier $A_k$ y $\frac{1}{k}E$ para cualquier $k$ y algún divisor efectivo fijo $E$ pero ¿cómo puede seguir siendo nef si lo cambiamos por una combinación lineal de $H$ y $K_X+\Delta$ ? Veo que sigue siendo grande por cambiar el coeficiente, pero ¿cómo puede ser nef?

Aquí ser nef es más importante ya que queremos utilizar el teorema del punto base libre demostrado en la sección anterior.

Agradecemos cualquier ayuda o sugerencia.

Answer 1

Sus preocupaciones son correctas. Necesitan tomar una combinación lineal apropiada (¡no cualquiera!) de $K_X+\Delta$ y $H$ . La forma de hacerlo es apelar al teorema del punto base libre (si te fijas en la prueba a la que te has referido, dicen que $H'$ es libre de punto base por (3.3), que es el teorema libre de punto base).

La segunda observación es que podemos suponer que $r(H)>0$ . De hecho, el teorema se cumpliría inmediatamente en este caso. Esto no se menciona explícitamente en la demostración, y puede que sea lo que te haya confundido. Ahora, dicho esto, podemos repasar la estrategia con más claridad:

Comenzamos con $H$ nef y grande, y queremos demostrar que $r(H)$ es un número racional con propiedades adecuadas. Puesto que podemos suponer que $r(H)>0$ para $n \in \mathbb N$ muy grande, tenemos que $H+\frac 1 n (K_X + \Delta)$ es nef. Ahora, dejemos que $a$ como en el enunciado sea tal que $a(K_X+\Delta)$ es Cartier. Despejando denominadores, podemos reformular todo diciendo que $naH + a(K_X+\Delta)$ es nef Cartier, y que $$ nH= (nH + (K_X+\Delta))-(K_X+\Delta) $$ es nef y grande. Pero esto se ajusta a las hipótesis del teorema del punto base libre. Por lo tanto, $|b(naH+a(K_X+\Delta))|$ no tiene base para $b$ lo suficientemente grande.

Entonces, puedes reconciliarte con lo expuesto en el libro poniendo $d=1$ , $m=b$ et $c=na$ .