Para una variedad topológica $X$, ¿es cierto que $X$ es un recubrimiento de $X\lor X$?

Question

Aquí está mi pregunta:

Sea $X$ una variedad topológica. ¿Es cierto que $X$ es un recubrimiento de $X\lor X$ y $X\lor X\lor X$, y así sucesivamente?

Tengo una intuición, $\pi_1(X\lor X)=\pi_1(X)*\pi_1(X)$.

Answer 1

Esto no es cierto. Deja que $X \lor X$ se forme pegando dos copias de $X$ en $p\in X$. Si existe tal recubrimiento $\pi :X\to X\lor X$, entonces hay un entorno abierto de $p$ en $X\lor X$ que es homeomorfo a $\mathbb R^n$. Pero esto no es cierto. De hecho, demostramos que no es posible cubrir $X\lor X$ con ninguna variedad topológica.

Answer 2

No es cierto. Considera $X=\mathbb R$, entonces $X\vee X$ parece una cruz ($+$) y no puede haber un homeomorfismo local entre los dos, al considerar el punto de unión (donde se cruzan las líneas).