En la conferencia de DeKalb sobre Los problemas de Hilbert John Tate hizo un estudio magistral del problema 9, la Ley General de Reciprocidad. Concluye con un debate sobre el Programa Langlands, especialmente el caso de las representaciones de impar Artin. $R$ de grado $2$ . Permítanme citar el último párrafo de la versión escrita de su conferencia:
Otra razón por la que Artin y Hecke eluden la relación puede ser el hecho de que es difícil encontrar ejemplos numéricos explícitos no diédricos. De hecho, en el momento de la conferencia de DeKalb no se conocía ninguno. Concluí la presentación oral de la ponencia explicando que, con la esperanza de encontrar uno, había buscado ejemplos numéricos no diédricos. $R$ de bajo conductor, $N$ y había encontrado un $R$ con $N=133=7\cdot19$ que esperaba que pudiera ser computable. Después de la charla, Atkin sugirió que el trabajo necesario podría reducirse considerablemente mediante el uso sistemático de $w_7$ y $w_{19}$ . Armado con su teoría de la $w$ cuatro estudiantes de Harvard, D. Flath, R. Kottwitz, J. Tunnell, J. Weisinger y yo conseguimos demostrar (mediante cálculos manuales relativamente sencillos) la existencia de la nueva forma correspondiente $f_R$ de peso $1$ y nivel $133$ predicho por Langlands.
Mi primera pregunta es $R$ ? La segunda pregunta es: ¿cómo verificar hoy (en un ordenador) la existencia de $f_R$ ¿sin invocar ninguno de los teoremas que se han demostrado entretanto?
