Si $|A| > |B|$ entonces $|A-B| > |B-A|$ ?

Question

Si $|A| > |B|$ entonces $|A-B| > |B-A|$ ?

¿Puede demostrarse sin ¿el axioma de la elección? Yo creo que sí. Esto es lo que pienso. Desde $|A|>|B|$ existe una función inyectiva desde $B$ a $A$ pero ninguna función biyectiva. Supongamos por reductio que existe una función biyectiva de $B-A$ a $A-B$ . Dado que existe una función biyectiva desde $A\cap B$ a sí misma, es decir, la función identidad, eso significaría que existe una función biyectiva desde $B$ a $A$ . Contradicción, por lo que no existe una función biyectiva desde $B-A$ a $A-B$ . Lo que queda por demostrar es que existe una función inyectiva de $B-A$ a $A-B$ . Si no existiera una función inyectiva desde $B-A$ a $A-B$ entonces no hay ninguna función inyectiva desde $B$ a $A$ ya que definitivamente existe una función inyectiva, es decir, la función identidad, de $A\cap B$ a sí misma. Contradicción, por lo que debe existir una función inyectiva desde $B-A$ a $A-B$ . ¿Es correcto?

Answer 1

No sin el axioma de la elección, no.

Supongamos que $X$ es un conjunto finito Dedekind, es decir, es infinito pero incomparable con $\omega$ . Ahora dejemos que $A$ sea $X\cup\omega$ y $B=\omega\cup(\{A\} \times\omega)$ . Tenga en cuenta que $B$ es contable y que $A\cap B$ es $\omega$ . Pero como $A$ contiene un conjunto finito Dedekind, es estrictamente mayor que $B$ .

Pero eso significa que $A-B=X$ y $B-A=\{A\}\times\omega$ y son incomparables.

De hecho, una fácil generalización de este argumento muestra que esto es equivalente al axioma completo de elección, ya que implica la comparabilidad cardinal. De hecho, su supuesta prueba comienza diciendo "si $A-B$ no es estrictamente mayor, entonces se inyecta en $B-A$ ". Ese es el axioma de la elección en todo su poder.