La suma de series de funciones es continua

Question

Dada la suma $\sum_{n=1}^{\infty}n^5(\frac{x}{x+2})^n$
Quiero demostrar que esta suma es una función continua en $[0,10]$ .
¿Cuál es el proceso que debo seguir para hacerlo?
¿Tengo que demostrar primero la convergencia uniforme?

Answer 1

Puedes utilizar el hecho de que una serie uniformemente convergente de funciones continuas da una función continua. Por otra parte, la función $g(x)=\frac{x}{x+2}$ es creciente y no negativo en $[0,10]$ por lo que la convergencia uniforme se deduce de: $$ \sum_{n\geq 1}n^5 \left(\frac{10}{12}\right)^{n} < +\infty. $$ El LHS puede calcularse explícitamente (es $3267030$ ), al igual que la serie original, es decir $\frac{1}{8} x (2 + x) (2 + 30 x + 75 x^2 + 60 x^3 + 15 x^4)$ - pero en realidad no lo necesitamos para demostrar la continuidad.