Creo que estoy pensando demasiado en esto o que estoy confundido, pero creo que el método para resolver esto sería $2^n$ donde n es la longitud de los bytes? Así que en este caso particular sería $2^8$ igual a 256 posibles.
Pero luego siento que eso no está bien y estoy confundido. Lo que pensé es que hay 4 maneras posibles de tener un número par f ceros (es decir, 2 ceros, 4 ceros, 6 ceros u 8 ceros).
Cualquier perspicacia sería asombrosa ya que estoy confundido...
Leí la pregunta y enseguida supe que era la mitad pero no el porqué. Pues aquí está el porqué.
Cada patrón de bits pares puede emparejarse uno a uno con un patrón impar volteando (wlog) el bit final.
Hay $2^8 = 256$ diferentes cadenas de bits de unos y ceros. Debido a la simetría $^{(*)}$ el número de cadenas con un número impar de ceros debe ser el mismo que el número de cadenas con un número par de ceros. En concreto, la mitad de los casos posibles tienen un número par de ceros, por lo que tenemos $\frac{1}{2}2^8 = 2^7$ tales cadenas de bits.
$(*)$ La simetría en la que estoy pensando aquí es la simetría entre un recuento par e impar de ceros. Como estamos considerando todo cadenas de bits de longitud ocho, si estamos preguntando cuántas de ellas tienen un número par/impar de ceros, no hay ninguna razón para favorecer a los pares o a los Impares sobre los otros, por lo que debe haber el mismo número de cada uno.
Creo que ayudaría especificar en qué simetría concreta estás pensando. Por ejemplo, invertir el orden de los bits de izquierda a derecha es "simétrico", pero no ayuda a responder a la pregunta del candidato. Cuando leí tu post mi pensamiento inmediato fue "sí, coge un número y sustituye todos los 0 por 1 y viceversa" - pero eso tampoco lo demuestra, porque el número de 0 y 1 son ambos impar, o ambos ¡Incluso!
Para encontrar el número de formas de ordenar la palabra
Moose, tomamos $\frac{5!}{2!1!1!1!}=\frac{5!}{2!}$ ya que tenemos $5$ letras en el alce y sólo una letra repetida.
Aquí estamos viendo el caso en el que no hay ceros, $2$ ceros, $4$ ceros, $6$ ceros y $8$ ceros en una "palabra" de longitud $8$ con un alfabeto formado por $0$ y $1$ .
$$\frac{8!}{8!}+\frac{8!}{6!2!}+\frac{8!}{4!4!}+\frac{8!}{2!6!}+\frac{8!}{8!}=128$$
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Un par de cosas: $2^8 = 256$ no $64$ . Y también, su último enfoque es sólido pero hay que considerar el caso cuando $0$ aparecen ceros (ya que el 0 también es un número par).
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Ah, sí, un error tonto de mi parte. Terminé con ese enfoque y tomando nota de la $C(8,0)$ también que vendría como 1 y sumó los valores para mostrar que hay 128 posibilidades. Gracias.
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Precisamente la mitad de ellos.