Desigualdades de integración de Lebesgue: $(\int f)^2 \le \int f^2$ , $e^{\int f} \le \int e^f$

Question

Sea $(X, \mathcal{A}, \mu)$ sea un espacio de medidas, supongamos $\mu(X) = 1$ y que $f: X \to \mathbb{R}$ sea Lebesgue integrable. ¿Son ciertas o no las siguientes desigualdades?

1. $(\int f)^2 \le \int f^2$
2. $e^{\int f} \le \int e^f$

Answer 1

Éstas se derivan de Desigualdad de Jensen y el hecho de que $x^2$ y $e^x$ son funciones convexas .