Pregunta sobre la demostración de la regla integral de Leibniz.

Question

Regla integral de Leibniz : Supongamos $p(x)$ y $q(x)$ son diferenciables en $\Bbb R$ . Sea $f:\Bbb R^2\to \Bbb R$ y $\frac{\partial f}{\partial y} $ son continuas en $\Bbb R$ . Defina $F(y)=\int _{p(y)} ^{q(y)} f(x,y) dx$ , $y\in \Bbb R$ . Entonces $F$ es diferenciable en $\Bbb R$ y $F'(y)=f(q(y),y)q'(y)-f(p(y),y)p'(y)+\int_{p(y)} ^{q(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$ .

Mi intento: Deja $G(x_1,x_2,x_3)=\int_{x_1}^{x_2}f(x,x_3)dx$ . Quiero demostrar que $G$ es un $C^1$ mapeo.

$\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_1,x_2,x_3)=\frac{\partial}{\partial x_1} \int_{x_1}^{x_2}f(x,x_3)dx=-\frac{\partial}{\partial x_1}\int_{x_2}^{x_1}f(x,x_3)dx$ $\;\;\;(\star)$

Mi pregunta es si puedo utilizar el FTC ( Teorema fundamental del cálculo ) para $(\star)$ . Estoy confundido acerca de que la FTC es una variable, pero $f$ es una función de dos variables. ¿Debo pensar $x_3$ en $(\star)$ sea un número fijo entonces es una función de una variable?

Si utilizo la FTC para $(\star)$ entonces, ¿cuál es la integral indefinida de $f$ ? Es $H(x_1)=\int _a ^{x_1}f(x,x_3)dx$ o $H(x_1,x_3)=\int _a ^{x_1}f(x,x_3)dx$ ? ( porque $f$ es continua en $\Bbb R^2$ para poder escribir $\int_{x_2}^{x_1}f(x,x_3)dx$ ser $\int_{a}^{x_1}f(x,x_3)dx-\int_{a}^{x_2}f(x,x_3)dx$ para algunos $a\in \Bbb R$ . )

Le agradecemos su ayuda.

Por cierto, he leído la respuesta en Demostración del "Teorema fundamental del cálculo" para dos variables.

Answer 1

Sí, puedes aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular $$\frac\partial{\partial x_1}\int_{x_1}^{x_2}f(x,x_3)\,\mathrm dx,\tag1$$ ya que aquí se puede tratar $x_2$ y $x_3$ como si fueran constantes; obtendrá que $(1)$ es igual a $-f(x_1,x_3)$ . Y también conseguirá que $$\frac\partial{\partial x_2}\int_{x_1}^{x_2}f(x,x_3)\,\mathrm dx=f(x_2,x_3).$$

Answer 2

Supongamos que $\Phi(x,y)$ es antiderivada de $f(x,y)$ por $x$ . Así que $$F(y)= \Phi(q(y),y)-\Phi(p(y),y)$$ Ahora necesitas la regla de la cadena de Leibniz para la derivada: $$F^{'}(y)= \Phi^{'}_{x}(q(y),y)q^{'}(y)+\Phi^{'}_{y}(q(y),y)-\left( \Phi^{'}_{x}(p(y),y)p^{'}(y)+\Phi^{'}_{y}(p(y),y) \right) =\\=\Phi^{'}_{x}(q(y),y)q^{'}(y) -\Phi^{'}_{x}(p(y),y)p^{'}(y)+\Phi^{'}_{y}(q(y),y) - \Phi^{'}_{y}(p(y),y)=\\=\Phi^{'}_{x}(q(y),y)q^{'}(y) -\Phi^{'}_{x}(p(y),y)p^{'}(y)+\int_{p(y)} ^{q(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)dx$$