Solución 1---Guess-work: Si las fuerzas aplicadas en los dos extremos son iguales, digamos que ambos $1.5\ N$ el muelle se estirará $1.5\ m$ . Una suposición natural es que el estiramiento viene determinado por la media de las dos fuerzas en los extremos, que en este caso son ambas iguales a $1.5\ N$ . Por lo tanto, para el caso que ha mencionado ( $1\ N$ aplicado a un extremo, y $2\ N$ hasta el otro extremo), la respuesta se obtiene de nuevo de la media: el muelle se estira $1.5\ m$ .
Solución 2---Análisis preciso: Si el muelle no tiene masa, la cuestión está mal planteada; la fuerza neta distinta de cero produce una aceleración infinita.
Si el muelle tiene masa $1\ kg$ (se puede extender el siguiente análisis a masas arbitrarias), entonces como la fuerza neta sobre ella es $2\ N-1\ N =1\ N$ la primavera tendrá $1\ m/s^2$ aceleración a la derecha.
Ahora, como observadores, aceleremos junto con el muelle, de modo que en todo momento estemos en reposo uno respecto del otro. Entonces nosotros (los observadores) tenemos $1\ m/s^2$ aceleración a la derecha.
Como estamos acelerando hacia la derecha, ya no somos observadores inerciales; así que si queremos utilizar las leyes de Newton debemos pensar que todo lo que vemos está sometido a un "campo gravitatorio" con fuerza $1\ m/s^2$ hacia la izquierda (es la fuerza de retroceso que experimentas cuando acelera un coche en el que estás sentado). Por tanto, vemos un muelle con $1\ N$ fuerza aplicada a su extremo izquierdo, $2\ N$ aplicada a su extremo derecho, y una atracción gravitatoria de $1\ N$ sobre él hacia la izquierda; la fuerza total es cero en nuestro marco acelerado (no inercial), como debe ser, ya que vemos el muelle en reposo.
Ahora, aplicando la segunda ley de Newton (todavía estamos en el marco no inercial, recuerda) al trocito de muelle del extremo izquierdo, aprendemos que la tensión del muelle es $1\ N$ en el extremo izquierdo; del mismo modo, la tensión del muelle es $2\ N$ en el otro extremo. La tensión en el centro del muelle interpola linealmente entre estos dos valores. Este gradiente lineal en la tensión del muelle se debe al campo gravitatorio hacia la izquierda; un efecto (gravitatorio) similar da lugar a un gradiente de presión vertical lineal en los líquidos en reposo.
Ahora ves por qué este problema es mucho más difícil que los que tienen fuerzas iguales aplicadas a ambos extremos del muelle. En este caso, la tensión varía a lo largo del muelle, lo que genera más complicaciones. Sin embargo, no es demasiado difícil superar estas complicaciones...
La parte más pequeña del muelle en el extremo izquierdo está sujeta a $1\ N$ en sus dos extremos; si cada trozo del muelle fuera así, el muelle se estiraría $1 m$ . La parte más pequeña del muelle en el extremo derecho está sujeta a $2\ N$ en sus dos extremos; si cada trozo del muelle fuera así, el muelle se estiraría $2 m$ . Pero las partes del muelle situadas en el centro están sometidas a una tensión que interpola linealmente estos dos valores, por lo que, en promedio, los pequeños trozos del muelle se estiran de tal manera que el muelle entero se estira $1.5\ m$ .
Esto confirma las conjeturas de la solución 1.
Puede convencerse de que aunque el ( $1\ kg$ ) que hemos introducido para el muelle es necesaria para que el problema esté bien definido, la respuesta final no depende de la masa del muelle.
