El autor da la siguiente pista:
Sugerencia: Considere $B_n(t)X_n(\omega)$ donde las variables aleatorias $\{B_n\}_{n\geqslant 1}$ a lanzar una moneda o variables aleatorias de Bernoulli. Aplicar Fubini sobre el espacio de $(t,\omega )$ .
De hecho, la principal dificultad radica en que sabemos que para cualquier $\varepsilon= \left(\varepsilon_n\right)\in\{-1,1\}^n$ existe $\Omega_\varepsilon$ tal que $\mathbb P\left(\Omega_\varepsilon\right)=1$ y para todos $\omega\in\Omega_\varepsilon$ la serie $\sum_{n=1}^{\infty}\varepsilon_n X_n\left(\omega\right)$ converge. Pero no está claro si podemos encontrar $\widetilde\Omega$ de probabilidad que funciona para cualquier elección de secuencias.
Denote $\left(\Omega,\mathcal A,\mathbb P\right)$ el espacio de probabilidad original. En otro espacio de probabilidad $\left(\Omega',\mathcal A',\mathbb P'\right)$ consideramos una secuencia de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas $\left(B_n\right)_{n\geqslant 1}$ tal que $\mathbb P'\left(B_n=1\right)=\mathbb P'\left(B_n=-1\right)=1/2$ . Denotemos $$E:=\left\{\left(\omega,\omega'\right): \sum_{n=1}^{+\infty} B_n\left(\omega'\right)X_n\left(\omega \right)\mbox{ does not converge} \right\}.$$ Aplicando ahora el teorema de Fubini a la función indicadora de $E$ obtenemos la existencia de $\Omega_0\subset\Omega $ tal que $\mathbb P\left(\Omega_0\right)=1$ y para todos $\omega\in\Omega_0$ la serie $\sum_{n=1}^\infty B_n\left(\omega'\right)X_n\left(\omega\right)$ converge para casi todos los $\omega\in\Omega'$ . Ahora, utilice el teorema de las tres series para demostrar que si para alguna secuencia determinista $\left(a_n\right)_{n\geqslant 1}$ El $\sum_n a_nB_n\left(\omega'\right)$ converge para casi todos los $\omega\in\Omega'$ entonces $\sum_n a_n^2$ es finito.
