Sea $G$ sea un grupo y $H\le G$ y $a\in G$ . ¿cuáles son siempre correctas?

Question

Sea $G$ sea un grupo, $H\neq G$ y $H\le G$ y $a\in G$ . ¿cuáles son siempre correctas?

a) $|a|=|a^{-1}|$

b) H y G tienen la misma unidad

c) $|H|\neq0$

d) si $a^{12}=a^2$ entonces |a| es número par

e) $\langle \langle a\rangle\cup H\rangle$ es un subgrupo de G.

b y c es correcto porque $H\le G$

para d, si $|G|=m, m|(12-2)$ y $|a|$ divide $m$ por lo que |a| puede ser 5

Answer 1

A)

$e=(aa^{-1})^n=a^na^{-n}$ por lo que si uno es $e$ el otro también debe ser $e$ Así que es verdad.

b)

la identidad es el único elemento idempotente en $G$ (ya que $xx=x\implies x^{-1}xx=x^{-1}x\implies x=e$ ) y la unidad de $H$ también debe ser idempotente.

c)

Desde $H$ tiene una identidad tiene al menos un elemento.

d)

$e$ satisface $|e^{12}|=|e^2|$ y $|e|=1$ . Así que no.

Otro ejemplo $\mathbb Z_{31}$ y $a=2$ . Aviso $2(2)=4$ y $12(2)=24$ ambos tienen orden $31$ mientras que $2$ también tiene orden $31$ .

e)

Por definición $\langle S \rangle $ es un subgrupo de $G$ para cualquier subconjunto $S$ de $G$ . el subconjunto $\langle a\rangle \cup H$ no es una excepción.