Polinomios homogéneos en la recta proyectiva compleja

Question

Estoy trabajando con algunas secciones (holomorfas) de haces lineales sobre la recta proyectiva compleja $\mathbb{CP}^1$ se pueden tomar como polinomios homogéneos en dos variables complejas $$ p \in H^0(\mathbb{CP}^1,\mathcal{O}(d)) \simeq S^d(\mathbb{C}^2)^*. $$ Quiero escribirlas en alguna forma canónica cambiando mis coordenadas homogéneas, idealmente escribiendo $$ p' = g^*p = a x_0^k x_1^{d-k} $$ donde $g$ es un cambio de coordenadas (creo que un elemento de $PGL(2,\mathbb{C})$ ). Dos preguntas:

Pregunta 1 : ¿es posible hacerlo? ¿Hay alguna manera constructiva? He estado jugando con algunos polinomios de bajo grado pero me quedo atascado en elementos como $$p=x_0^3 - x_1^3 = (x_0 - x_1 \xi_1)(x_0 - x_1 \xi_2)(x_0 - x_1 \xi_3),$$ donde $\xi_i$ son las 3 raíces cúbicas de 1.

Pregunta 2 : si tal cosa es siempre posible... ¿cuántos polinomios puedo escribir en mi forma canónica preferida con un solo cambio de coordenadas? Creo que esto tiene que ver con el grado de transitividad de la acción de $PGL(2,\mathbb{C})$ en $\mathbb{CP}^1$ .

Answer 1

Esto no es posible. La sección $$x_0^k x_1^{d-k}$$ tiene un $k$ -th raíz en $0$ y un ( $d-k$ )-ésima raíz en $\infty$ . Pero como has notado, tu polinomio $$p = x_0^3 - x_1^3$$ tiene tres raíces distintas $1, \xi$ y $ \xi^2$ . Si $$g: \mathbb{CP}^1 \to \mathbb{CP}^1$$ es cualquier isomorfismo, el polinomio $g^* p$ también tendrá tres raíces distintas, por lo que nunca podrá ser de la forma $x_0^k x_1^{d-k}$ .