Resolución de un sistema de relaciones de recurrencia (no homogéneas)

Question

Estoy considerando el siguiente sistema de recurrencia de relaciones: para $i=1,2,\dots,n-1$ , \begin{align*} &a_i=\frac{2}{3(n-i)+2}b_i+\frac{3(n-i)}{3(n-i)+2}a_{i+1}\\ &b_i=\frac{i}{n\left[3(n-i)+1\right]}+\frac{3(n-i)}{\left[3(n-i)+1\right](i+1)}a_{i+1}+\frac{3i(n-i)}{\left[3(n-i)+1\right](i+1)}b_{i+1}, \end{align*} con $a_n=b_n=1$ .

¿Existe alguna metodología general que pueda tratar este tipo de relaciones de recurrencia?

Al principio, resolví otra relación de recurrencia en la que la segunda es mucho más sencilla: \begin{align*} &a'_i=\frac{2}{3(n-i)+2}b'_i+\frac{3(n-i)}{3(n-i)+2}a'_{i+1}\\ &b'_i=\frac{i}{n\left[3(n-i)+1\right]}+\frac{3(n-i)}{3(n-i)+1}b'_{i+1}, \end{align*} con $a'_n=b'_n=1$ . Utilizando estas relaciones unas cuantas veces (de $n$ hacia atrás), puedo observar que $a'_i=\frac{9n+i}{10n}$ y $b'_i=\frac{3n+i}{4n}$ . Sin embargo, entonces me doy cuenta de que debería estudiar $a_i$ y $b_i$ en lugar de $a'_i$ y $b'_i$ . Pero no sé cómo obtener las soluciones exactas.

Por favor, denme alguna ayuda o pista. Muchas gracias.

Answer 1

Podrías utilizar funciones generadoras. Defina $A(z) = \sum_{i \ge 0} a_a z^i$ , $B(z) = \sum_{i \ge 0} b_i z^i$ . Multiplicar hacia fuera (para eliminar las fracciones), multiplicar las recurrencias por $z^i$ y sumar sobre $i \ge 0$ :

$\begin{align*} (3 n + 2) \sum_{i \ge 0} a_i z^i - 3 \sum_{i \ge 0} i a_i z^i &= 2 \sum_{i \ge 0} b_i z^i + 3 n \sum_{i \ge 0} a_{i + 1} z^i - 3 \sum_{i \ge 0} i a_{i + 1} z^i \end{align*}$

Ahora reconoce algunas sumas, es decir $\sum_{i \ge 0} i a_i z^i = z \frac{d}{d z} A(z)$ y $\sum_{i \ge 0} a_{i + 1} z^i = \frac{A(z) - a_0}{z}$ . Esto da un sistema de ecuaciones diferenciales lineales que (con suerte) puedes resolver.