Homología en la $A_\infty$ Mundo

Question

Esta pregunta está resultando un poco larga, así que empezaré por el titular. Dada un álgebra diferencial graduada $A$ podemos recuperar $A$ a partir de su homología $HA$ si conocemos "el" $A_\infty$ -estructura de $HA$ . Vagamente, me gustaría saberlo:

Pregunta 0: ¿Puede hacerse esto "functorialmente" en algún sentido?

Bien, ahora la versión larga.

Para un álgebra dg $A$ la asociación $A\mapsto HA$ da un functor de la categoría de álgebras dg a la categoría de álgebras graduadas. El teorema de Kadeishvili afirma que existe un único(ish) $A_\infty$ -en la homología $HA$ con ciertas buenas propiedades. De este modo, podemos pensar en la asociación $A\mapsto HA$ como valores de la categoría $A_\infty$ -álgebras. Por desgracia, parece que hay dos problemas cuando se trata de hacer esto en un functor:

1. Dado un morfismo dg $f:A\to B$ el morfismo graduado inducido $Hf:HA\to HB$ puede no ser un $A_\infty$ -morfismo
2. Se puede obtener un $A_\infty$ -morfismo $f_*:=q\circ f\circ j:HA\to HB$ donde $j:HA\to A$ y $q:B\to HB$ son $A_\infty$ -pero entonces la asociación $f\mapsto f_*$ ya no es functorial.

Esto nos lleva a:

Pregunta 1: ¿Hay alguna forma de solucionarlo? Por ejemplo, ¿podemos de alguna manera ver la homología como un $A_\infty$ -o algún otro tipo de "functor hasta la homotopía"?

Del mismo modo, para un dg $A$ -módulo $M$ hay un $A_\infty$ - $HA$ -sobre $HM$ con buenas propiedades.

Pregunta 2: ¿Podemos recuperar la categoría de dg $A$ -de la categoría de $A_\infty$ - $HA$ -es decir, ¿existe un functor $A$ -mod $\to$ $HA$ - $A_\infty$ -mod (o mejor aún en la otra dirección) dando algún tipo de equivalencia?

También se agradecerían mucho las referencias.

Answer 1

La siguiente respuesta no aborda la pregunta 1 en su totalidad, pero muestra, creo, lo que habría que pensar.

Toma un álgebra dg $(A,d)$ sobre un anillo conmutativo $k$ . Especificar un desdoblamiento de los cocycles como cohomología más coboundaries: $$ \mathrm{ker} (d) = HA \oplus \mathrm{im}(d) $$ (dicha división existe siempre que $HA$ es proyectiva), y sea $i\colon HA\to A$ sea la inclusión resultante. Podemos entonces construir canónicamente

(i) Un $A_\infty$ estructura en $HA$ con diferencial $\mu^1=0$ ;

(ii) un $A_\infty$ morfismo $\mathcal{I} \colon HA \to A$ cuyo primer término es la inclusión dada $i$ .

Así que $HI \colon HA \to HA$ es el mapa de identidad. Esta es la construcción de Kadeishvili.

Estas estructuras se definen mediante fórmulas recursivas explícitas. Como tales, ya tienen algunas propiedades de functorialidad deseables. Por ejemplo, si un grupo $G$ actúa por automorfismos sobre $A$ y si el sumando $i(HA)$ es $G$ -invariante, entonces la $A_\infty$ los datos serán $G$ -equivariante.

Supongamos ahora que especificamos además una división de $A$ como $\mathrm{ker} (d) \oplus A'$ . Tenemos entonces una proyección $p\colon A \to HA$ y esto se extiende canónicamente a

(iii) un $A_\infty$ morfismo $\mathcal{P}\colon A\to HA$ con

(iv) una homotopía nula de $\mathcal{P}\circ \mathcal{I}- \mathrm{id}_{HA}$ .

Además, existe una homotopía nula de $\mathcal{I}\circ \mathcal{P}-\mathrm{id}_A$ pero no estoy seguro de lo canónica que es esta homotopía nula. Una referencia para estas afirmaciones es el libro de Paul Seidel Categorías de Fukaya y teoría de Picard-Lefschetz capítulo 1. En general, $A_\infty$ los cuasi-isomorfismos inducen cuasi-equivalencias de sus categorías-módulo, y esto da una respuesta afirmativa a la pregunta 2.

Tomemos ahora un morfismo dg $f\colon A \to B$ y supongamos que nos dan divisiones de $A$ y de $B$ como coordenadas más cohomología más complemento y que $f$ respeta estos sumandos. Entonces podemos construir un $A_\infty$ morfismo $$ \mathcal{H}f = \mathcal{P}_B \circ (Hf) \circ \mathcal{I}_A \colon A\to B, $$ como se indica en la pregunta. En composición $g\circ f$ de mapas dg que respetan la división, existe una homotopía $\mathcal{H}g\circ \mathcal{H}f \simeq \mathcal{H}(g\circ f)$ . La homotopía proviene de la existencia de una homotopía $I_B \circ P_B \simeq \mathrm{id}_B$ .`

Así obtenemos un functor de la categoría de dga con particiones a la categoría de $A_\infty$ -y clases homotópicas de morfismos. Presumiblemente, si se puede establecer cuán canónica es la homotopía $I_B \circ P_B \simeq \mathrm{id}_B$ se puede afinar la declaración de functorialidad.