Demostración relativa a los números primos:

Question

TEOREMA:

Si un primo $p$ divide un producto $a_1 \cdot \cdot \cdot a_n$ entonces $p$ divide al menos uno de sus factores, $a_i$ .

Este es mi intento de demostración, el libro que estoy leyendo sugiere el uso de la inducción sobre el número de factores, pero me fui en una dirección diferente porque no podía llegar a ninguna parte con la inducción:

Supongamos que $p\mid a_1\cdot\cdot\cdot a_n$ y $ p\nmid a_i^*$ donde $a_i^* = \dfrac{a_1\cdot\cdot\cdot a_n}{a_i}$ y $a_i$ es uno de los factores del producto.

Lo sabemos, \begin{align*} \gcd(p,a_i^*) = 1\\ a_i = \gcd(a_ip,a_ia_i^*) \end{align*}

Y como $p\mid a_ip,a_1\cdot\cdot\cdot a_n \Longrightarrow p\mid(a_ip,a_1\cdot\cdot\cdot a_n) \Longrightarrow p\mid a_i$ .

¿Se ha demostrado el teorema?

Answer 1

Tu argumento me ha confundido. La inducción se sigue fácilmente del siguiente resultado.

Reclamación: Si $p$ divide $ab$ entonces $p$ divide $a$ o $p$ divide $b$ (o ambos).

Porque $p$ es primo, sus únicos divisores son $1$ y $p$ . Es decir $\gcd(a,p)$ debe ser $p$ o $1$ . Si $\gcd(a,p) = p$ entonces $p$ divide $a$ y ya está.

En caso contrario $\gcd(a,p) = 1$ . Entonces utilizando el algoritmo de Euclides se obtiene

$$ra + sp = 1$$

para números enteros $r$ y $s$ . Multiplicando ambos lados por $b$ obtienes

$$rab + spb = b$$

El lado izquierdo es divisible por $p$ porque $p$ divide $ab$ . Esto demuestra que $b$ es divisible por $p$ .

Ahora puedes usar esto para demostrar el resultado para un producto arbritario $a_1 \cdots a_n$ utilizando la inducción sobre el número de factores. ¿Y si el teorema fuera cierto para todos los productos con $n-1$ ¿factores? Pista: la multiplicación de enteros es asociativa.