¿El rango de una matriz es el mismo que el de su transposición? Si es así, ¿cómo puedo probarlo?

Question

Estoy asistiendo a una clase de Álgebra Lineal, y hoy nos enseñaron el rango de una matriz. La definición se dio desde el punto de vista de la fila:

"El rango de una matriz A es el número de filas no nulas en el reducido fila-chelon forma de A".

El conferenciante explicó entonces que si la matriz $A$ tiene tamaño $m * n$ Entonces $rank(A) \leq m$ y $rank(A) \leq n$ .

La forma en que me habían enseñado sobre el rango era que era el más pequeño de

• el número de filas que traen nueva información
• el número de columnas que traen nueva información.

No veo cómo cambiaría eso si transponemos la matriz, como dije en la conferencia:

"entonces el rango de una matriz es el mismo que el de su transposición, ¿verdad?"

Y el profesor dijo:

"¡Oh, no tan rápido! Espera, tengo que pensarlo".

Como la clase tiene unos 100 estudiantes y el profesor sólo estaba sustituyendo al profesor "normal", probablemente estaba un poco nervioso, así que siguió con la conferencia.

He probado "mi teoría" con una matriz y funciona, pero aunque lo intentara con 100 matrices y funcionara, no habría probado que siempre funciona porque podría haber un caso en el que no lo hiciera.

Así que mi pregunta es primero si estoy en lo cierto, es decir, si el rango de una matriz es el mismo que el rango de su transposición, y segundo, si eso es cierto, ¿cómo puedo probarlo?

Gracias :)

Answer 1

La respuesta es sí. Esta afirmación suele recibir el nombre de "el rango de la fila es igual al rango de la columna". Sabiendo esto, es fácil buscar pruebas en Internet.

Además, cualquier texto de álgebra lineal reputado debería demostrarlo: es un resultado bastante importante.

Por último, como has dicho que sólo tenías un profesor sustituto, no lo castigaré, pero esto sería una laguna de conocimiento angustiosa para alguien que es profesor habitual de álgebra lineal.

Answer 2

Existen varias pruebas sencillas de este resultado. Desgraciadamente, la mayoría de los libros de texto utilizan un enfoque bastante complicado usando formas escalonadas reducidas en filas. Por favor, vea algunas pruebas elegantes en la página de Wikipedia (aportada por mí):

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_%28linear_algebra%29

o la página sobre la factorización del rango:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rank_factorization

Otro de mis favoritos es el siguiente:

Definir $\operatorname{rank}(A)$ para significar el rango de la columna de A: $\operatorname{col rank}(A) = \dim \{Ax: x \in \mathbb{R}^n\}$ . Dejemos que $A^{t}$ denota la transposición de A. Primero demuestre que $A^{t}Ax = 0$ si y sólo si $Ax = 0$ . Esto es álgebra lineal estándar: una dirección es trivial, la otra se deduce de:

$$A^{t}Ax=0 \implies x^{t}A^{t}Ax=0 \implies (Ax)^{t}(Ax) = 0 \implies Ax = 0$$

Por lo tanto, las columnas de $A^{t}A$ satisfacen las mismas relaciones lineales que las columnas de $A$ . No importa que tengan diferente número de de filas. Tienen el mismo número de columnas y tienen el mismo rango de columnas. (Esto también se deduce del teorema de rango+nulidad, si ha demostrado que de forma independiente (es decir, sin asumir fila rango = columna rango)

Por lo tanto, $\operatorname{col rank}(A) = \operatorname{col rank}(A^{t}A) \leq \operatorname{col rank}(A^{t})$ . (Esta última desigualdad se deduce porque cada columna de $A^{t}A$ es una combinación lineal combinación lineal de las columnas de $A^{t}$ . Así que, $\operatorname{col sp}(A^{t}A)$ es un subconjunto de $\operatorname{col sp}(A^{t})$ .) Ahora basta con aplicar el argumento a $A^{t}$ para obtener la desigualdad inversa, demostrando $\operatorname{col rank}(A) = \operatorname{col rank}(A^{t})$ . Desde $\operatorname{col rank}(A^{t})$ es el rango de fila de A, hemos terminado.

Answer 3

Ya que hablaste de la forma reducida de la fila-echelón, asumo que sabes lo que operaciones elementales de filas y columnas son. El hecho básico de estas operaciones es el siguiente:

Las operaciones elementales (de fila o de columna) no cambian ni el rango de fila ni el rango de las columnas de una matriz.

Ahora, dada una matriz no nula $A$ intente lo siguiente:

1. Traiga $A$ a su forma reducida de fila-echelón $R$ utilizando operaciones de fila elementales.
2. Traiga $R$ a su forma reducida de columna-echelón $B$ utilizando operaciones de columna elementales.

Entonces $B$ es de la forma $$ \begin{pmatrix} 1&&&0&\ldots&0\\ &\ddots&&\vdots&&\vdots\\ &&1&0&\ldots&0\\ 0&\ldots&0&0&\ldots&0\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\ldots&0&0&\ldots&0\\ \end{pmatrix}. $$ Ahora es obvio que el rango de fila de $B$ es igual al rango de columna de $B$ (que es igual al número de unos en el anterior "forma reducida de fila y columna-echelón" ). Por lo tanto, el rango de fila de $A$ es igual al rango de columna de $A$ es decir, el rango de fila de $A$ es igual al rango de fila de $A^T$ .

Answer 4

Sí, es un hecho. Esto es cierto en cualquier campo conmutativo. Véase, por ejemplo, el primer capítulo de Emil Artin, Galois Theory, para un argumento muy elemental.

Si necesitas formular ese argumento en términos más conceptuales, considera las matrices como transformaciones lineales. Si A es la matriz, entonces dejemos que $A^t$ sea la transposición, y entonces $A^tA$ y $A$ tienen el mismo dominio, y utilizar el hecho de que tienen el mismo espacio nulo, y utilizar el teorema de la dimensión rango + nulidad = dimensión del espacio.

Tu argumento es válido sólo para matrices reales. Para las matrices complejas pueden no tener el mismo espacio nulo.

Answer 5

(1) Si $f:V\to W$ es un mapa lineal y $f^*:W^*\to V^*$ es su transposición, entonces tenemos un isomorfismo canónico

$$\text{Im}(f^*)=\text{Im}(f)^*.$$

Esto se puede ver de la siguiente manera:

(2) Si $$ V\ \overset{p}{\twoheadrightarrow}A\ \overset{i}{\rightarrowtail}\ W\quad\text{and}\quad V\ \overset{q}{\twoheadrightarrow}B\ \overset{j}{\rightarrowtail}\ W $$ son dos diagramas de mapas lineales tales que

(a) $i$ y $j$ son inyectivas, $p$ y $q$ son suryentes,

(b) $i\circ p=j\circ q$ ,

entonces existe un único mapa lineal $\varphi:A\to B$ tal que $\varphi\circ p=q$ y $j\circ\varphi=i$ . Además $\varphi$ es biyectiva. La prueba es fácil.

Para demostrar que (2) implica (1), observe que los tres diagramas
$$ V\ \overset{p}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f)\ \overset{i}{\rightarrowtail}\ W, $$ $$ W^*\ \overset{i^*}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f)^*\ \overset{p^*}{\rightarrowtail}\ V^*, $$ $$ W^*\ \overset{q}{\twoheadrightarrow}\ \text{Im}(f^*)\ \overset{j}{\rightarrowtail}\ V^*, $$ donde $p,i,q,j$ son los mapas obvios, satisfacen (a). Como $p^*\circ i^*=f^*=j\circ q$ vemos que (2) implica (1).

Supongamos que el rango de $f:V\to W$ es infinito. El Teorema de Erdős-Kaplansky implica entonces

$$\text{rank}(f^*)=|K|^{\text{rank}(f)},$$

donde $K$ es el campo de tierra y $|X|$ es la cardinalidad de $X$ para cualquier conjunto $X$ .

Más concretamente, el teorema de Erdős-Kaplansky dice $$ \dim(V^*)=|K|^{\dim(V)} $$ siempre que $V$ es de dimensión infinita o, lo que es lo mismo $$ \dim(K^S)=|K^S|, $$ donde $S$ es un infinito y $K^S$ es el conjunto de familias $(a_s)_{s\in S}$ con $a_s$ en $K$ . En palabras:

La dimensión de un espacio vectorial dual de dimensión infinita es igual a su cardinalidad.

Para una demostración del Teorema de Erdős-Kaplansky, véase esta respuesta .