Demostrar que para todos los enteros p y n, si p es primo y p | n^2 entonces p | n

Question

¿Cómo demostrar lo anterior por contradicción? Hasta ahora tengo lo siguiente

Sea p primo y p|n^2 para los intgers p y n.

Supongamos que $p\nmid n$ .

Por lo tanto, podemos escribir n^2 = pb para algún número entero b.

Por lo tanto, p es un factor primo de n^2.

...

Answer 1

Sea $n=p_1^{\alpha _1}\cdot ...\cdot p_k^{\alpha _k}$ . Entonces $$n=p_1^{2\alpha _1}\cdot ...\cdot p_k^{2\alpha _k}$$

Si $p\mid n^2$ por el lema de Gauss, $p\mid p_i^{2\alpha _i}$ para un determinado $i$ . Desde $p$ es primo, $p=p_i$ . La reclamación sigue.