Grupos de Lie y álgebras de Lie para matrices

Question

Hace poco me tropecé con algunas cosas de teoría muy básica de grupos de Lie / álgebras de Lie relativas a grupos de matrices.

Básicamente, mi pregunta es: ¿hay alguna forma de comprender canónicamente todos los grupos de Lie a la vez?

Así que ahí está el grupo $GL(n, \mathbb{R}).$ Este es el único grupo en el que veo inmediatamente la estructura múltiple, ya que $GL(n, \mathbb{R}) = \mathbb{R}^{n \times n}\backslash det^{-1}(\{0\})$ es un conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n \times n}$ sólo por continuidad del determinante y, por tanto, es una variedad de dimensión $n^2$ .

El álgebra de Lie en el contexto de la teoría de matrices reales viene dada aparentemente por todas las matrices $\{X; e^{tX}\in G\}$ donde $G$ es el grupo de Lie correspondiente.

De esto se deduce que cualquier endomorfismo $X$ está en el álgebra de Lie del grupo lineal general, ya que $e^{tX}$ es siempre invertible.

Todos los demás tipos como $SL,SO,O,Sp,..$ son ahora algo más duras para mí.

Pero, ¿quizá podamos responder a esta pregunta de forma más canónica?

Porque un amigo me enseñó un truco para averiguar cuáles podrían ser las álgebras de Lie sin investigar esta exponencial.

Sea $Y = Id + tX + o(t^2)$ sea una expansión de taylor y luego lo conectas a la propiedad definitoria del grupo:

Por ejemplo, si consideramos $O(n):$ $$Y^T Y = (Id + tX^t+o(t^2))(Id + tX^t+o(t^2)) = Id + tX + tX^t +o(t^2)$$

ahora el álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices que no tienen orden $t$ en esta expansión. Así que en el caso del grupo ortogonal esto significa que $X+X^t=0.$

En el caso del $SL(n)$ la propiedad definitoria es que $det(Id+tX) = 1$ que es para pequeños $t$ equivalente a $det(Id+tX) \approx 1+ t \cdot tr(X)=1$ y por lo tanto debemos tener matrices libres de trazas en las respectivas álgebras de Lie.

De alguna manera, aparentemente podemos concluir cuál tiene que ser el álgebra de Lie a partir de la expansión de Taylor de primer orden. Esto es bueno porque parece que funciona en general.

Mi primera pregunta es: ¿Por qué funciona esto y de dónde viene la condición de que el término de primer orden tiene que desaparecer?

Ahora, me gustaría entender también mejor los grupos de Lie en sí y quizás también de una forma más general. 1.) No veo cómo se define realmente la estructura del múltiple en estos grupos. Claro, en el caso de $O$ o $SO$ el teorema del valor regular se puede aplicar de alguna manera, pero esto no me proporciona una parametrización o gráfico explícitamente. En especial, ¿existe una forma canónica de encontrar gráficos/parametrizaciones para tales grupos de matrices o es diferente en cada caso?

2.) ¿Hay alguna forma de ver directamente cuál tiene que ser la dimensión de un grupo matricial de este tipo? Es decir, piensa que estás en un examen. ¿Hay alguna forma de averiguar cuál tiene que ser la dimensión del colector correspondiente? ¿O es algo que hay que investigar en cada caso de forma diferente?

Answer 1

Puedo responder a algunas de sus preguntas.

En primer lugar, supongamos que su grupo de Lie $G$ se caracteriza por las matrices $M$ que satisface alguna relación diferenciable $f(M) = 0$ . Sea $\gamma(t)$ cualquier curva $\mathbb{R} \to G$ con $\gamma(0) = I$ . Entonces $$f(\gamma(t)) = 0$$ y en particular $$\frac{d}{dt}f(\gamma(t))\Big\vert_{t\to 0} = 0.$$

Tayor en expansión $f \circ \gamma$ da $$0 = \frac{d}{dt} \left[f(\gamma(0)) + t df(\gamma(0))\gamma'(0) + t^2 g(t)\right]\Big\vert_{t\to 0} = df(I)\gamma'(0).$$ Por lo tanto, todos los vectores tangentes de $G$ en $I$ (y por tanto los elementos del álgebra de Lie) se caracterizan por estar en el núcleo de $df$ en $I$ .

Así, por ejemplo, $O(n)$ : \begin{align*} f(M) &= M^TM-I\\ df(M)v &= v^TM + M^Tv\\ df(I)v &= v^T + v \end{align*} y el álgebra de Lie está formada por las matrices asimétricas.

Para $SL(\mathbb{R},n)$ , $f(M) = \det(M) - 1$ y como calculaste, $df(I)v = \operatorname{tr}(v)$ y el álgebra de Lie son las matrices libres de trazas.

Ahora, para calcular la dimensión de $G$ se puede calcular la dimensión del álgebra de Lie; $df(I)$ es un mapa lineal de $TGL(\mathbb{R},n)$ a cualquiera que sea el codominio de $f$ y se puede calcular la dimensión del álgebra de Lie calculando la nulidad de $df(I)$ .

En cuanto al cálculo de los gráficos: quizás alguien más pueda darte un enfoque computacionalmente más sencillo, pero el más fácil conceptualmente es utilizar el mapa exponencial que tienes delante: elige una base $\{b_i\}_{i=1}^k$ para el espacio nulo de $df(I)$ y tienes un gráfico para un barrio $S$ de $I$ dada por $$\phi:\mathbb{R}^k \to S$$ $$\phi(\mathbf{x}) = e^{\sum_i x_i b_i}$$ que puedes convertir en un gráfico de la vecindad de cualquier punto $p$ en $G$ por ejemplo, multiplicando a la izquierda por $p$ .