Prueba $\sum\limits_{r=1}^{n} r >\frac{1}{2}n^2$ mediante inducción

Question

Pregunta:

$$\text{Prove by induction that, for all integers } n, n \geq 1:$$ $$\sum\limits_{r=1}^{n} r >\frac{1}{2}n^2$$

Trabajando:

Paso 1 (Demostrar que es cierto para n=1): $$1>\frac{1}{2}(1)^2$$

Paso 2 (Supongamos que es cierto para n=k): $$ k >\frac{1}{2}k^2$$

Paso 3 (Demostrar que es cierto para n=k+1):

Y como sólo me he enfrentado a ecuaciones con un signo igual (=), no tengo ni idea de qué hacer a continuación. Ahora mismo he asumido que se cumple para $k$ y trataré de demostrar por $k+1$ . ¿Cuál debería ser mi siguiente paso?

Answer 1

El segundo paso debería ser $$\sum_{r=1}^k r > \dfrac{k^2}{2}$$ A continuación, observe que $$\sum_{r=1}^{k+1} r = \underbrace{(k+1) + \sum_{r=1}^{k} r > (k+1) + \dfrac{k^2}{2}}_{\text{Induction hypothesis}} = \underbrace{\dfrac{k^2+2k+2}{2} > \dfrac{k^2+2k+1}{2}}_{a+\frac12 > a} = \dfrac{(k+1)^2}{2}$$

Answer 2

Sugerencia $\ $ Es fácil demostrar por inducción que una función creciente sigue siendo $\ge$ su valor inicial, es decir, que $\rm\:f(n\!+\!1) \ge f(n)\:$ para $\rm\:n\ge 1\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:f(n) \ge f(1)\:$ para $\rm n\ge 1$ .

Para $\rm\:f(n) = $ RHS - LHS de tu desigualdad, $\rm\:f\:$ aumenta desde

$$\rm f(n+1) - f(n)\: =\ n\!+\!1 - ((n+1)^2 -n^2)/2 \: =\: 1/2\, >\, 0$$

Así que para todos $\rm\:n\ge 1,\: f(n) \ge f(1) = 1/2,\:$ es decir, RHS $-$ LHS $\ge 1/2,\:$ así que $\,$ RHS > LHS. $\quad$ QED

Nótese cómo este punto de vista elimina todas las conjeturas de la demostración inductiva, reduciéndola a un simple cálculo algebraico de memoria, a saber, probar la positividad necesaria para demostrar que $\rm\:f\:$ está aumentando. La misma técnica funciona para muchos problemas inductivos de este tipo. Para muchos ejemplos, véase mi entradas anteriores sobre telescopios, donde muestro cómo lo anterior puede verse como la inducción trivial de que una suma de términos positivos es positiva.

Answer 3

\begin{align} \sum_{1 \leq r \leq k+1}r &> \frac{(k+1)^2}{2}\\ \sum_{1 \leq r \leq k}r+(k+1) &> \frac{k^2}{2}+\frac{2k+1}{2}\\ 2\sum_{1 \leq r \leq k}r+2(k+1) &> k^2+(2k+1)\\ 2\sum_{1 \leq r \leq k}r &> k^2\\ 2(k+1) &> (2k+1)\\ \therefore \sum_{1 \leq r \leq k+1}r &> \frac{(k+1)^2}{2} \end{align}