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Cohomología de Dolbeault en la esfera de Riemann

Soy un humilde físico, busco una referencia que explique la cohomología de Dolbeault de funciones holomorfas de homogeneidad $-2$ en la esfera de Riemann. En concreto, mi geometría está lo suficientemente oxidada como para que no pueda averiguar cuál es la forma general de las funciones en este espacio. ¿Podría alguien indicarme una referencia (muy pedestre), sobre todo con representantes explícitos de la cohomología?

Sólo para que sepas dónde estoy en este momento, estoy bastante seguro de que $$ c \frac{ [\bar \lambda d \bar \lambda] } { [\lambda \bar \lambda]^2 }$$

es una opción, en la que $c$ es una constante. ¿Es cierto que puedo utilizar cualquier función homogénea de $\lambda$ como mi $c$ ¿y esto me dará la cohomología completa? ¿O la fórmula general más compacta implica más $\bar \lambda$ términos que se anulan en el $\bar \partial$ derivada, como ocurre para la medida?

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Supongo que la noción "funciones holomorfas de homogeneidad $−2$ "secciones del haz de líneas $\mathcal{O}(-2)$ que es isomorfo al haz de líneas de las holomorfas $1$ -forma $\Omega^1$ (mira su grado $\ldots$ ). Por tanto, la resolución Dolbeault de $\mathcal{O}(-2)$ es la resolución Dolbeault de $\Omega^1$ que consiste en el grado $0$ de ( $C^{\infty}$ secciones de) $(1,0)$ -formas y en grado $1$ de $(1,1)$ -forms, que no son más que los $2$ -formas. El operador de Dolbeault entre ellas coincide con la diferencial de Cartan y su imagen son las exactas $2$ -(ya que $\text{H}^{(0,1)}$ se desvanece, cada $1$ -forma es la suma de a $(1,0)$ -y de una forma exacta $1$ -forma).

Así que un $2$ -representa una clase de cohomología no trivial en $\text{H}^1(\mathbb{P}^1, \Omega^1)$ si y sólo si su integral sobre la recta proyectiva es no evanescente. En la cohomología de Čech se puede representar por la $1$ -forma $\text{d}z/z$ en $\mathbb{P}^1 \setminus \{0,\infty\}$ la intersección de los discos alrededor de $0$ y $\infty$ (no es un límite, porque tiene residuos no evanescentes en $0$ y $\infty$ ).

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