¿Por qué no puedo demostrar esta ecuación trigonométrica en línea recta?

Question

La pregunta es la siguiente:

Dado que $\tan^2a - 2 \tan^2b = 1$ . Demuestre que $\cos2a + \sin^2b = 0$ .

Después de varios intentos, he encontrado la siguiente solución:

$$\tan^2a - 2 \tan^2b = 1$$ $$(\sec^2a - 1) - 2(\sec^2b - 1) = 1$$ $$\sec^2a - 2sec^2b = 0$$ $$\frac{1}{\cos^2a} - \frac{2}{\cos^2b} = 0$$ $$\cos^2b - 2\cos^2a= 0$$ $$(1-\sin^2b) - (1 - \sin^2a) - \cos^2a = 0$$ $$\sin^2a - \cos^2a + \sin^2b = 0$$ $$\cos2a + \sin^2b = 0$$

Y la prueba está terminada. Sin embargo, antes de encontrar esta solución, se me ocurrió algo como esto:

$$\tan^2a - 2 \tan^2b = 1$$ $$\frac{\sin^2a}{\cos^2a} - 2\frac{\sin^2b}{\cos^2b} = 1$$ $$\sin^2a\cos^2b - 2\sin^2b\cos^2a - \cos^2a\cos^2b = 0$$

Quería extraer el $\cos2a $ aquí. Así que hago lo siguiente

$$(\sin^2a - \cos^2a) \cos^2b - 2\sin^2b\cos^2a = 0$$ $$\cos2a + \frac{2\sin^2b\cos^2a}{\cos^2b} = 0$$

Basta con demostrar que

$$\frac{2\sin^2b\cos^2a}{\cos^2b} = \sin^2b$$

que es lo mismo que decir

$$\frac{\cos^2a}{\cos^2b} = \frac{1}{2}$$

Por lo tanto, miré la ecuación original y demostré que es cierta así:

$$\tan^2a - 2 \tan^2b = 1$$ $$(\sec^2a - 1) - 2(\sec^2b - 1) = 1$$ $$\sec^2a = 2sec^2b$$ $$\frac{\cos^2a}{\cos^2b} = \frac{1}{2}$$

Mi confusión es la razón por la que necesito volver a mirar la ecuación original para terminar la demostración. $\tan^2a - 2 \tan^2b = 1$ es idéntica a $\cos2a + \sin^2b = 0$ . Y no perdí información durante mi prueba. ¿No debería ser capaz de terminar la prueba directamente como mi primera prueba?

Puede parecer una pregunta extraña. Pero espero que alguien me lo pueda explicar porque a veces me pasa y me resulta confuso.

Answer 1

¿Por qué no se siente cómodo con la estructura de su primera prueba? Con la pequeña afirmación sobre el caso en que $\sin b=0$ mencionado en los comentarios bajo OP, está bien.

Lo que has hecho es que has conseguido reducir el problema a demostrar que la igualdad $$\frac{\cos^2a}{\cos^2b}=\frac 12$$ es cierto. Luego has utilizado la hipótesis dada para demostrarlo (ecuación más manejable). Esto no tiene nada de desagradable. Es muy válido. Que hayas reducido la ecuación original a la de arriba no significa que ya no puedas usar la original, o que haya desaparecido. Puedes seguir utilizándola, y eso es correcto.

No eres muy específico sobre por qué te preocupa este enfoque, pero si crees que es circular, entonces no está bien. Quieres demostrar que una ecuación implica a otra. Luego demuestras que esta implicación es cierta si se cumple una determinada ecuación. Entonces demuestras que esta ecuación es cierta usando la ecuación original (que puedes usar tantas veces como quieras en el problema, no hay ninguna restricción que diga que debes usar la hipótesis sólo una vez). Esto no es circular, y de hecho me gusta más ese enfoque; lo que ocurre aquí es algo así como una composición de hipótesis, por así decirlo -- Quieres demostrar que $A$ implica $C.$ Entonces pruebe que si $A,$ y si $A \implies B,$ entonces $C;$ entonces demuestras que $A$ implica $B.$ Luego siguió su resultado. Y eso está bien - es sólo que la estructura es un poco complicado, nada más.

Espero que esto te aclare las cosas. :)

Answer 2

Creo que esto se puede explicar utilizando ideas de la geometría algebraica (por supuesto, esa teoría específica sólo se aplica a los polinomios, pero se entiende la idea).

Cuando se demuestra alguna identidad a partir de alguna otra condición, lo que realmente se está haciendo es demostrar que el ideal generado por la identidad contiene completamente al ideal generado por la condición. Así que cuando "usas" la ecuación $\tan^2 a-2\tan^2b=1$ en realidad sólo estás utilizando el hecho de que la función $\tan^2 a-2\tan^2 b$ es constante $1$ cuando se restringe al conjunto $\{(a,b):\tan^2a-2\tan^2b=1\}$ .

Sin embargo, esa función no es constante fuera de ese conjunto, por lo que cambia la "forma" del ideal exterior. Lo que queremos hacer es afinar la forma para que coincida con la condición. Si usas la ecuación de forma incorrecta, aunque la "forma" cambia, pero no es en la dirección correcta. Así que tenemos que utilizar la ecuación de nuevo para hacerlo bien.

Espero que esto te sirva de intuición :).

Answer 3

A partir de esta línea continúe como sigue (en lugar de dividir por $\cos ^2b$ expréselo como $1-\sin^2b$ ): $$(\sin^2a - \cos^2a) \cos^2b - 2\sin^2b\cos^2a = 0 \\ (\sin^2a - \cos^2a) (1-\sin^2b) - 2\sin^2b\cos^2a = 0\\ -\cos 2a-\sin^2a\sin^2b+\sin^2b\cos^2a-2\sin^2b\cos^2a=0 \\ -\cos2a-\sin^2a\sin^2b-\sin^2b\cos^2a=0\\ \cos2a+\sin^2b=0.$$