Los coeficientes de Fourier resueltos implican que $\sin(x) \equiv 0$ en $[0, \pi]$ en un problema PDE de frontera de valor inicial

Question

Supongamos que tenemos el problema $\begin{cases}u_{tt} - c^2u_{xx} = 0&: x \in (0, \pi), t > 0\\\ u_t(x, 0) = \sin(10x), &: x \in [0, \pi]\\\ u(0, t) = u(\pi, t) = 0, &: t \in [0, \infty)\\\ u(x, 0) = \sin^5(x),&: x \in [0, \pi]\end{cases}$

Sé que la solución general de la ecuación de onda en mi caso viene dada por $u(x, t) = \sum_{l\in \mathbb{N}_0}\sin(lx)\left(a_l\cos(clt) + b_l\sin(clt)\right)$ donde $a_l = \frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi \sin^5(x)\sin(lx)dx$ y $b_l = \frac{2}{cl\pi}\int_{0}^\pi \sin(10x)\sin(lx)dx$

Lo que no puedo comprender es que si abofeteo la ecuación de $a_l$ en Wolfram|Alpha, obtengo el angustioso resultado de la siguiente imagen

Es decir, para todos $l \in \mathbb{N}$ , $a_l = \frac{-240\sin(\pi l)}{\pi(l^6 - 35l^4 + 259l^2 - 225)} = 0$ como $\sin(l\pi) = 0, \forall l \in \mathbb{Z}$ . Pero entonces, ¿no implica esto que $u(x, 0) = \sin^5(x) = \sum_{l\in \mathbb{N}_0}a_l\sin(lx) = 0$ para que $\sin \equiv 0$ ?

Está claro que algo falla en mi razonamiento, pero no tengo ni idea de dónde está el fallo.

Answer 1

Buena pregunta. Observa que el polinomio $$l^6-35l^4+259l^2-225$$ Tiene raíces en $l=\pm 1,\pm 3,\pm 5$ . Y, como es un polinomio de sexto orden, estos son los sólo raíces. Eso significa que cuando se introducen estos valores en la fórmula para $a_l$ , se obtiene un $0/0$ . Así que la fórmula se rompe en este caso. Lo que tenemos que hacer es reescribirla como $$a_n=\frac{240}{\pi}\frac{\sin(\pi n)}{(n-1)(n+1)(n-3)(n+3)(n-5)(n+5)}$$ Y debido al límite (¡fácil ejercicio!) $$\lim_{x\to n}\frac{\sin(\pi x)}{n-x}=(-1)^{n+1}\pi$$ Puede obtener, por ejemplo $$a_1=\frac{240}{\pi}\frac{1}{(1+1)(1-3)(1+3)(1-5)(1+5)}\lim_{x\to 1}\frac{\sin(\pi x)}{1-x} \\ =\frac{240}{2\cdot(-2)\cdot4\cdot(-4)\cdot6}=\frac{5}{8}$$ El mismo proceso puede repetirse para los otros cinco números enteros relevantes. Y, también obtenemos claramente $$a_n=0 \\ \text{if}~n\neq \pm 1,\pm 3,\pm 5$$