Duro Olimpiada De La Desigualdad

Question

Sea x,y,z ser números reales positivos tales que $xy+xz+yz=1$. Demostrar que $$\sqrt{x^3+x}+ \sqrt{y^3+y}+ \sqrt{z^3+z} \geq 2 \cdot \sqrt{x+y+z}$$ . Traté de plaza de ampliar homogeneizar, a continuación, majorize. Pero no pude hacer que funcione. Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

problema: desde $a,b,c>0$,y tal $ab+bc+ac=1$, muestran que $$\sqrt{a^3+a}+\sqrt{b^3+b}+\sqrt{c^3+c}\ge 2\sqrt{a+b+c}$$

Puf: Utilizando el Titular de la desigualdad,tenemos $$\left(\sum\sqrt{a^3+a}\right)^2\left(\sum\dfrac{a^2}{a^2+1}\right)\ge\left(\sum a\right)^3$$ queda por demostrar que $$\left(\sum a\right)^2\ge 4\sum\dfrac{a^2}{a^2+1}$$

lo cual es cierto,porque $$\begin{align*}\left(\sum a\right)^2- 4\sum\dfrac{a^2}{a^2+1}&=\left(\sum a\right)^2-4\left(\sum bc\right)\left[\sum\dfrac{a^2}{(c+a)(a+b)}\right]\\ &=\sum\dfrac{a(b-c)^2(b+c-a)^2}{(b+a)(b+c)(a+c)}\\ &\ge 0 \end{align*}$$