Sea $\mu, \nu$ sean medidas de Borel no negativas y $f, g$ sus correspondientes derivadas de Radon-Nikodym respecto a la medida de Lebesgue. $$ \frac{d \mu}{d \lambda} = f, \frac{d \nu}{d \lambda} = g $$
Supongamos que $$ \nu << \mu $$
¿Qué relación existe entonces entre $f$ y $g$ ?
Creo que debe haber $$f(x) = 0 \implies g(x) = 0 \text{ $ \lambda $ a.e.}$$ o, lo que es lo mismo, si fijamos $A = \{x: g(x)>0\}, B = \{x: f(x)=0\}$ entonces $$ \lambda(A \cap B) = 0 $$
Sé que $$ \int_{A \cap B}fd \lambda = \int f \mathbb{1}_{A \cap B}d \lambda \leq \int f \mathbb{1}_{B}d \lambda = 0 $$ porque $f = 0$ para a.e. x $\in B$ .
Creo que no basta con concluir que $\lambda(A \cap B\}) = 0$ sin embargo.
¿Podría alguien terminar esto en la dirección correcta?