Relación de derivadas de Radon-Nikodym entre dos medidas de Borel absolutamente continuas

Question

Sea $\mu, \nu$ sean medidas de Borel no negativas y $f, g$ sus correspondientes derivadas de Radon-Nikodym respecto a la medida de Lebesgue. $$ \frac{d \mu}{d \lambda} = f, \frac{d \nu}{d \lambda} = g $$

Supongamos que $$ \nu << \mu $$

¿Qué relación existe entonces entre $f$ y $g$ ?

Creo que debe haber $$f(x) = 0 \implies g(x) = 0 \text{ $ \lambda $ a.e.}$$ o, lo que es lo mismo, si fijamos $A = \{x: g(x)>0\}, B = \{x: f(x)=0\}$ entonces $$ \lambda(A \cap B) = 0 $$

Sé que $$ \int_{A \cap B}fd \lambda = \int f \mathbb{1}_{A \cap B}d \lambda \leq \int f \mathbb{1}_{B}d \lambda = 0 $$ porque $f = 0$ para a.e. x $\in B$ .

Creo que no basta con concluir que $\lambda(A \cap B\}) = 0$ sin embargo.

¿Podría alguien terminar esto en la dirección correcta?

Answer 1

Si $\ \nu\ll\mu\ $ entonces $\ \nu\ $ tiene una derivada Radon-Nikodym, $\ \frac{d\nu}{d\mu}\ $ con respecto a $\ \mu\ $ que satisface $$ \nu(A)=\int_A \frac{d\nu}{d\mu}d\mu=\int_A \frac{d\nu}{d\mu} \frac{d\mu}{d\lambda}d\lambda= \int_A \frac{d\nu}{d\mu} fd\lambda $$ para todos los conjuntos de Borel $\ A\ $ . Por lo tanto, por la unicidad de la derivada de Radon-Nikodym, $\ g = \frac{d\nu}{d\mu}f\ \ \lambda$ -a.e. Así, $$ \lambda\left(\left\{x: g(x)-\frac{d\nu}{d\mu}f>0\right\}\right)=0, $$ y puesto que $$ \ A\cap B\subseteq \left\{x: g(x)-\frac{d\nu}{d\mu}f>0\right\}\ , $$ se deduce que $ \lambda(A\cap B)=0\ $ .