Como no hay nada sobre el problema que has posteado, supondré que quieres un paso bajo con 259 μs de retardo, o un retardo de 55 μs, e intentaré dar una explicación de cómo calcular el filtro para un determinado retardo de grupo.
En primer lugar, como se menciona en los comentarios, el Filtros de Bessel tienen la propiedad especial de que se aproximan a un retardo de grupo constante en la banda pasante (y a una fase lineal, implícitamente). Son filtros omnipolares, como los Butterworth y Chebyshev de tipo I, pero no obedecen la atenuación de -3 dB en la frecuencia de esquina. Lo que significa que su retardo de grupo será diferente si se utiliza cualquier forma de escalado de frecuencia.
Consideremos la función de transferencia de paso bajo de 2º orden normalizada:
$$\begin{align} H(s)&=\dfrac{3}{s^2+3s+3}\tag{1} \\ \tau_{gd}(\omega)&=\dfrac{3\omega^2+9}{\omega^4+3\omega^2+9}\tag{2} \end{align}$$
Esto significa que \$\omega_0=\sqrt3\$ y \$Q_0=1/\sqrt3\$ pero la frecuencia (angular) para la que el retardo de grupo es la unidad es, a su vez, la unidad, lo que significa que \$\omega_0\;!=\;\omega_{gd}\$ o \$\omega_{gd}\$ tiene un escalado de frecuencia adjunto que no se puede quitar. Si se elimina, se pierde el retardo de grupo, que es \$\tau_{gd}(\omega_{gd}=1)=12/13\$ . Se aproxima a la unidad y mejora con el aumento del orden: para el 3er orden es \$276/277\$ , para el 4 es \$12745/12746\$ etc. El retardo de grupo en CC es siempre la unidad. Aplicando el escalado de frecuencia para una atenuación de -3 dB se obtiene una función de transferencia diferente:
$$\begin{align} |H(s)|^2=\dfrac12 \Rightarrow \\ \dfrac{9}{\omega^4+3\omega^2+9}=\dfrac12 \Rightarrow \\ \left\{ \begin{aligned} \omega_{1,2}&=\pm\sqrt{\dfrac32}\sqrt{\sqrt{5}-1}&\approx \pm 1.3617 \\ \omega_{3,4}&=\pm j\sqrt{\dfrac32}\sqrt{\sqrt{5}+1}&\approx \pm j2.2032 \end{aligned}\tag{3} \right. \end{align}$$ $$H(\omega_1 s)=\dfrac{1.618}{s^2+2.2032s+1.618}\tag{4}$$
Si ves una proporción áurea ahí es por las raíces (3). En este caso concreto (2º orden), resulta que es así. El factor de calidad sigue siendo el mismo, pero el retardo de grupo ahora se convierte en:
$$\tau_{gd}'(\omega)=\dfrac{0.73438\omega^2+1.1882}{0.33332\omega^4+0.53937\omega^2+0.87261}\tag{5}$$
El cual, evaluado en \$\omega_1=\sqrt{1.618}\$ se convierte en \$\tau_{gd}'(1.272)=0.90776\$ que no es \$12/13=0.923\$ (puede estar cerca, pero considera el límite de 1). Evaluado en \$\omega_{gd}\$ resulta en \$\tau_{gd}(1)=1.1016=1/0.90776\$ . Como puedes ver, cualquier escalado de frecuencia significa perder el retardo de grupo.
Ahora para tu caso, dices que necesitas un retardo de grupo de 259 μs. Eso significa \$\omega_{gd}=10^6/259=3861\$ a la que se aplica la normalización \$\sqrt3\$ para llegar a \$\omega_0=3861\sqrt3=6687.5\$ . Las resistencias de terminación están dadas, por lo que sólo queda resolver las resistencias L y C:
$$H_{LC}(s)=\dfrac{\frac{1}{LC}}{s^2+\left(\frac{1}{R_oC}+\frac{R_i}{L}\right)s+\frac{2}{LC}} \Rightarrow \\ {\left\{ \begin{aligned} \dfrac{1}{R_oC}+\dfrac{R_i}{L}&=\dfrac{\omega_{gd}}{Q_0} \\ \dfrac{2}{LC}&=\omega_{gd}^2 \end{aligned} \right.} \\ {\left\{ \begin{aligned} L_1&=0.24512 \\ C_1&=1.8244\cdot 10^{-7} \\ L_2&=0.065679 \\ C_2&=6.8088\cdot 10^{-7} \end{aligned} \right.}\tag{6} \\ $$
Como es un cuadrático hay dos raíces, ambas son reales, ambas dan los mismos resultados. Una con mayor inductor y menor condensador, y viceversa. Elige. El resultado está abajo, donde he desplazado ligeramente las trazas para que no se solapen completamente; los retardos de grupo se muestran iguales, y las lecturas confirman los cálculos:
![proof]()
Nota: para la expresión de Laplace ( E1 ) He utilizado w=1/259u=3861 , no la escalada, como para el cálculo de L y C, porque la función de transferencia subyacente ya es el prototipo de paso bajo, que tiene la corrección "incorporada". Para un retardo de grupo de 55 μs, L=[156.16m, 41.84m], C=[116.23n, 433.8n] .
Ahora, esta es la parte que se vuelve confusa. No dices nada sobre el problema excepto que tiene que ser de un cierto retardo de grupo, y que el autor utilizó un retardo de grupo diferente, y nada más. No puedo saber por qué sí o por qué no, pero los resultados para el retardo de grupo de 55 μs sí coinciden, si se calculan para un retardo de 55 μs, no para 259 μs.
Sus resultados, sin embargo, no se calcularon para \$\omega_{gd}\$ . Su \$\Omega_0=1.127\$ que es \$\sqrt{1.272}=\sqrt{\sqrt{1.618}}\$ . Es un poco ...poco convencional, pero si se invierte a la escala correcta (es decir. \$\omega_{gd}=1\$ ) obtendrás los mismos valores que yo: \$58.19\cdot 1.1278=65.628\approx 65.68\$ y para el condensador \$603.3\cdot 1.1278=680.42\approx 680.88\$ similar para el caso de 55 μs. BTW, 12% de error, ¿te suena? (1.1278, 12%, grillos ). Y es un lote para un error de cálculo, quizá no para elementos prácticos que impliquen inductancias y condensadores (así de grandes, al menos), pero para la teoría es inmenso.
La próxima vez o bien no utilices las tablas de -3dB que se ven en casi todas partes, o bien aplica la corrección de antemano, si pretendes utilizar un filtro de Bessel para su retraso de grupo . Recuerda esto: retardo de grupo unitario significa calcular para una unidad \$\omega\$ sea cual sea la atenuación; especificar una atenuación significa que el retardo de grupo está desactivado, en cuyo caso las tablas están bien como están.
Por eso, cuando se diseña un filtro de este tipo, hay que elegir entre dos cosas: el retardo de grupo o la frecuencia de esquina ("clásica" -3 dB). La opción más común es el retardo de grupo. No es raro elegirlo para una frecuencia en particular, pero entonces el retardo de grupo es irrelevante: obtendrás una fase lineal, disfrútala mientras dure.
Dada tu reciente edición, el problema plantea un paso bajo LC Bessel de 600 Ω igualmente terminado con un retardo de grupo de 259 μs. No veo en ninguna parte ninguna mención de un 55 μs y, dada la formulación (o lo que dice mi traductor portugués muy pobre), el problema se resuelve como se muestra arriba: imponer. \$\omega=\sqrt3/259\,\mu\text{s}\$ . Entonces, en (6), la primera ecuación es igual a \$3\cdot 10^6/259\$ (ya que \$Q_0=1/\sqrt3\$ la frecuencia pasa a ser \$\omega/Q\rightarrow\omega\sqrt3\cdot\sqrt3=3\cdot\omega\$ ), y la 2ª ecuación es igual a \$3\cdot 10^{12}/259^2\$ .
