probabilidad, definiciones de distribución geométrica

Question

Consideremos un dado injusto, en el que la probabilidad de obtener $6$ es $p != 1/6.$ El dado se lanza varias veces. Llamar a $T$ el RV que cuenta el número de lanzamientos antes de que aparezca un 6 por primera vez. ¿Cuál será la distribución de $T.$

Lo considero como el número de intentos antes del primer éxito y por lo tanto la distribución es geométrica teniendo $p(T=t) = p(1-p)^{t-1}$ sin embargo im también tiene una duda si este es el caso del número de fracasos antes del primer éxito teniendo $p(T=t) = p(1-p)^t$

¿cuál es la correcta y por qué elegimos una de la otra? o ¿es correcto modelar este caso en una de las dos definiciones?

Answer 1

$$ \Pr(T>t) = \Pr(\text{No 6 appears in the first $ t $ trials.}) = \left( \frac 5 6 \right)^t. $$ $$ \Pr(T=t) + \Pr(T>t) = \Pr(T>t-1). $$ $$ \Pr(T=t) + \left( \frac 5 6 \right)^t = \left( \frac 5 6 \right)^{t-1}. $$ $$ \Pr(T=t) = \left( \frac 5 6 \right)^{t-1} - \left( \frac 5 6 \right)^t = \left( \frac 5 6 \right)^{t-1}\left( 1 - \frac 5 6 \right). $$