Regresión lineal con dispersión del error dependiente de la variable independiente

Question

Supongamos que $y=ax+z$ donde $x, y, z$ son variables aleatorias con rango en $\mathbf R$ , $\mathbf E[x]=0$ la distribución de probabilidad $p(z|x)$ es

1) distribución normal $N(0,\sigma(x)^2)$ con media $0$ y desviación típica $\sigma(x)$ como función desconocida de $x$ ;

2) distribución t del estudiante $t_{\nu(x)}$ con grados de libertad $\nu(x)$ una función desconocida de $x$ ,

y $a$ es una constante desconocida. Supongamos que $(x_i,y_i)_{i=1}^n$ es un conjunto de tuplas de observación muestral de $(x,y)$ . ¿Cómo se estiman las siguientes funciones?

1) $(a,\sigma(x))$ ;

2) $(a,\nu(x))$ .

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Nota: No se trata del problema de heteroscedasticidad en el sentido convencional, en el que el parámetro de dispersión depende del índice $i$ . El parámetro de dispersión depende ahora de la variable independiente $x$ .

Answer 1

Creo que puedes estimar razonablemente $a$ con MCO en (1) y una estimación quizá más robusta en (2) como como IRLS (aunque tal vez OLS todavía podría estar bien ).

Estimación $\sigma(x)$ y $\nu(x)$ es más difícil. Creo que tienes que decidir cómo parametrizar o cuantificar wrt $x$ . Por ejemplo, si elige alguna función con parámetros $\theta$ y defina su estimación como $\hat{\sigma}(x)=f(x;\theta)$ entonces se puede ajustar numéricamente $\theta$ maximizando la log-verosimilitud sobre el conjunto de datos $(x_i, z_i)=(x_i,y_i-ax_i)$ . La elección de $f$ representa cierto nivel de "prioridad" sobre $\sigma(x)$ o $\nu(x)$ .

Supongo que también puede conjuntamente estimación $a$ y $\sigma$ o $\nu$ combinando alternativamente los dos enfoques de optimización anteriores.

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