Demuestre que cualquier rectángulo $(a, b)\times (c, d)$ está abierto en $\mathbb R^2$ .

Question

Puedo demostrarlo fácilmente para la métrica euclídea. Pero aquí la métrica no está especificada. Así que necesito una demostración generalizada para todas las métricas. ¿Cómo empezamos entonces?

Answer 1

Una forma de dar una topología métrica en el plano en la que no todos los rectángulos $(a,b)\times (c,d)$ son abiertos es imponiendo una topología que hace que el plano sea homeomorfo a la recta real. Con más detalle:

Sabemos que en las topologías euclidianas $\mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$ . Por ejemplo, eliminar un punto separa la recta real, pero no separa el plano.

Sin embargo, tenemos $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ de igual cardinalidad, por lo que $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ sea una correspondencia de uno a uno. Sea $\tau$ sea la topología métrica en $\mathbb{R}^2$ inducida por esta correspondencia con la métrica habitual en $\mathbb{R}$ . Así $f$ es continua con respecto a la topología $\tau$ en el avión.

Si todos los rectángulos $(a,b)\times (c,d)$ en el plano eran abiertas en la topología métrica $\tau$ entonces el mapa de identidad $id:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ con respecto a la topología $\tau$ en el dominio y la topología habitual en el codominio sería continua e inyectiva.

Se deduce por invariancia de dominio que la composición de mapas $id(f)$ sería un homeomorfismo de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$ . Contradicción.

Answer 2

He aquí otro ejemplo. Sea $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ sea la biyección que fija todos los puntos $p \in \mathbb{R}^2$ que no sean iguales a $(0,0)$ o $(2,0)$ pero intercambia esos dos puntos: $$f(p) = \begin{cases} p &\text{if $p \ne (0,0)$ and $p \ne (2,0)$} \\ (2,0) &\text{if $p = (0,0)$} \\ (0,0) &\text{if $p = (2,0)$} \end{cases}$$ Sea $\mathcal{T}_1$ sea la topología métrica habitual en el espacio euclídeo, con la métrica denotada $d_1$ .

Sea $\mathcal{T}_2$ sea la topología $$\mathcal{T}_2 = \{f(U) \bigm| U \in \mathcal{T}_1\}$$ que también es una topología métrica: $d_2(p,q) = d_1(f^{-1}(p),f^{-1}(q))$ .

El conjunto $V=(-1,1) \times (-1,1)$ está abierto en $\mathcal{T}_1$ . Pero no está abierto en $\mathcal{T}_2$ porque si $V=f(U)$ entonces $$U = \bigl(V - \{(0,0)\}\bigr) \cup \{(2,0)\} \not\in \mathcal{T}_1$$