Definición de semi-normas en $C^{k,r}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$

Question

Cuando el conjunto $C^{k,r}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ está equipado con la topología habitual de seminorma, se conoce como el espacio de Hölder. Sin embargo, ¿cómo definimos la topología de seminorma en $C^{k,r}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^m)$ cuando $m>1$?
¿Son simplemente: $$ \|f\|_K :=\sum_{I=1}^m \|f_i\|_{K,k,r}, $$ donde para cualquier $g\in C^{k,r}(\mathbb{R}^n,\mathbb{R})$ definimos la seminorma $\|g\|_{K,k,r}:=\sup_{x\in K} \max_{0\leq |\beta|\leq k} \|D^{\beta}g(x)\| + \max_{x_i\in K,x_1\neq x_2}\frac{\|D^kg(x_1)-D^kg(x_2)\|}{\|x_1-x_2\|^r}$

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¿Alguien considera en su lugar: $$ \|f\|'_K := \sup_{x\in K}\|f(x)\| + \max_{x_i\in K,x_1\neq x_2}\frac{\|f(x_1)-f(x_2)\|}{\|x_1-x_2\|} + \sum_{I=1}^m \|f_i\|_{K,k,r}? $$

Answer 1

Estas dos familias de seminormas son equivalentes. Es claro que $\|f\|_K \leq \|f\|_K'$ así que considero solo la otra desigualdad. El caso $k = 0$ es más fácil así que considero solo el caso $k \geq 1$.

Para esto será suficiente ver que $\sup_{x\in K} \|f(x)\|, \sup_{x_i \in K, x_1 \neq x_2} \frac{\|f(x_1) - f(x_2)\|}{\|x_1 - x_2 \|} \lesssim \|f\|_K$.

Para el primero de estos, note que desde la definición es claro que $$\sup_{x \in K} \|f(x)\|_1 = \sup_{x \in K} \sum_{i = 1}^m |f_i(x)| \leq \sum_{i = 1}^m \sup_{x \in K} |f_i(x)| \leq \|f\|_K.$$

Dado que todas las normas en $\mathbb{R}^m$ son equivalentes, esto da el resultado deseado.

Usando el mismo truco de equivalencia de normas, para la segunda desigualdad basta con considerar $$\sup_K \frac{\|f(x_1) - f(x_2)\|_1}{\|x_1 - x_2\|}$$ y por lo tanto incluso controlar $$\frac{ |f_i(x_1) - f_i(x_2)|}{\|x_1 - x_2\|}$$ para i arbitrario. Para $k > 0$, una aplicación del teorema de Taylor te dice que esto está controlado por los normas $\sup$ de las primeras derivadas, dando la equivalencia deseada.