Esta es una gran pregunta, y parte de la motivación para lógica matemática especialmente teoría de la prueba y teoría de modelos . Por desgracia, es demasiado vago para admitir una respuesta definitiva, pero sin duda podemos decir algunas cosas que arrojan luz sobre la situación.
Permítanme empezar con una nota positiva. Teorema de la completitud de Godel (no, no es una errata) dice que en muchos casos podemos permanecer en nuestro entorno original. En concreto, Godel demostró lo siguiente:
Si una sentencia $\varphi$ es verdadera en toda estructura que satisfaga una teoría $T$ entonces existe una prueba de $\varphi$ de $T$ .
Aquí "prueba" se entiende en un sentido muy formal y concreto en particular, al construir una prueba estamos razonando completamente dentro del lenguaje de $T$ .
Por supuesto, lo anterior necesita cierta elaboración - en particular, la frase y la teoría en cuestión tienen que pertenecer a lógica de primer orden y cuando vamos más allá de la lógica de primer orden (por ejemplo, a de segundo orden o infinito lógica) en general perdemos la completitud, pero es un resultado de suficiencia importante.
Ahora permítanme criticar lo anterior.
En primer lugar, el teorema de la exhaustividad no es tan satisfactorio como puede parecer a primera vista. En concreto, podemos elaborar una teoría $T$ con un previsto modelo _(por ejemplo aritmética de Peano de primer orden (PA) es el de los números naturales) que, sin embargo, tiene muchas involuntario modelos que pueden diferir bastante del modelo previsto (por ejemplo Teorema de incompletitud de Godel dice que esto ocurre con PA)_ . Así que podemos encontrarnos en una situación en la que una afirmación es verdadera (en el sentido de que es verdadera en el modelo pretendido de nuestra teoría) pero no demostrable a partir de nuestra teoría, ya que nuestra teoría tiene modelos no pretendidos.
En segundo lugar, esto no aborda la cuestión de aceleración de la prueba . Godel también demostró que a menudo podemos obtener pruebas drásticamente más cortas pasando a contextos más expresivos, de modo que introducir un nuevo contexto puede ser prácticamente necesario aunque no sea realmente necesario. Este es el verdadero problema de las matemáticas tal y como se realizan en la actualidad (por ejemplo, podemos demostrar el último teorema de Fermat sin hablar de otra cosa que no sean los números naturales, pero debe ¿nosotros?).
Por último, hay una barrera lingüística. La frase $\varphi$ tiene que ser de primer orden y en el mismo lenguaje que la teoría $T$ . Pero a veces nos interesan afirmaciones que no se ajustan a esta imagen. Por ejemplo, veamos el problema del heptágono regular. A primera vista, la frase que nos interesa es "Un heptágono regular no se puede construir con regla y compás", y la teoría más obvia para trabajar es la geometría euclidiana. Pero el lenguaje de la geometría euclidiana no puede expresar la frase anterior, porque las "construcciones" no son cosas de las que hable directamente (sólo habla directamente de puntos, rectas y círculos). Así que tenemos que ir a un contexto más amplio para incluso express nuestro objetivo - o hacer un trabajo real para transformar nuestro objetivo en algo adecuadamente expresable.
- Esta cuestión de la barrera lingüística es, por cierto, el núcleo del teorema de incompletitud de Godel. La mayor parte de la demostración del GIT consiste en mostrar que, aunque conceptos como la demostrabilidad no estén incorporados directamente en el lenguaje aritmético, pueden "interpretarse" en aritmética. Así que a veces el lenguaje que nos interesa es más expresivo de lo que parece a primera vista. (Desgraciadamente, geometría realmente no es .)
Así pues, la conclusión del teorema de la exhaustividad de Godel a la luz de las preocupaciones anteriores es la siguiente:
Si una sentencia de primer orden es verdadera en cada modelo de una teoría de primer orden, entonces esa sentencia puede demostrarse a partir de esa teoría sin introducir ningún concepto nuevo. Sin embargo, muchos enunciados naturales que queremos demostrar pueden no ser adecuadamente de primer orden, la propia teoría puede ser más débil de lo previsto, de modo que un enunciado "verdadero" puede dejar de ser "necesariamente verdadero" en el sentido de la teoría, e incluso ignorando estas cuestiones encontrar una demostración sólo en la teoría original puede ser prohibitivamente difícil.
