¿Todos los automorfismos de $\mathbb{H}$ preservar la norma de un elemento?

Question

¿Todos los automorfismos de $\mathbb{H}$ -- los cuaterniones de Hamilton, ¿preservan la norma de un elemento? Parece que no puedo responder a esta pregunta sin utilizar el hecho no tan elemental de que todos los automorfismos de $\mathbb{H}$ son interiores-- esto nos dice que todos los automorfismos fijan $\mathbb{R}$ por lo que para cualquier $x=a+bi+cj+dk$ , $\phi(x)=a+b\phi(i) + c \phi(j)+d \phi(k)$ . ¿Estoy haciendo alguna suposición descaradamente incorrecta? Si es así, ¿cómo demostraría este hecho sobre la norma que se está conservando?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que cualquier ( $\mathbb{R}$ -álgebra) automorfismo $\phi$ de $\mathbb{H}$ conserva $1$ y por tanto (puntualmente) $\mathbb{R}$ .

Ahora bien, cualquier automorfismo $\phi$ de $\mathbb{H}$ viene dada por $\phi(x) := q x q^{-1}$ para algunos $q \in \mathbb{H}^*$ . También podemos sacar la norma de $q$ y absorberla en su inversa, y así suponer que $q$ y $q^{-1}$ ambos tienen longitud unitaria, y en particular que $\phi(x) = q x \bar{q}$ .

Demostramos ahora que cualquier automorfismo $\phi$ preserva la norma al cuadrado $Q(x) := |x|^2 = x \bar{x}$ de un elemento arbitrario $x \in \mathbb{H}$ :

$Q(\phi(x)) = Q(qx\bar{q}) = qx\bar{q}\overline{qx\bar{q}} = qx\bar{q}q\bar{x}\bar{q}$ .

Ahora, $\bar{q}q = 1$ Así que esto es

$qx\bar{x}\bar{q} = q Q(x) \bar{q} = Q(x) q\bar{q} = Q(x)$ ,

donde la igualdad del medio utiliza que $Q(x)$ es real.

Observación El hecho de que cualquier automorfismo de $\mathbb{H}$ preserva la norma (o forma cuadrática $Q$ ) corresponde a la inclusión $Aut(\mathbb{H}) \cong SU(2) \hookrightarrow SO(4) \cong SO(Q)$ . En particular, la acción de $SU(2)$ conserva el ortocomplemento $\mathbb{R}^{\perp} \cong \mathbb{R}^3$ y la restricción de $Q$ a ese conjunto y por tanto define un homomorfismo $SU(2) \to SO(3)$ resulta ser suryectiva y tener núcleo $\{\pm 1\}$ y por lo tanto es una doble cubierta.

Observación 2 Obsérvese que, de hecho, podemos demostrar que la estructura algebraica y la norma son compatibles en un sentido aún más fuerte, a saber, que satisfacen $Q(x y) = Q(x) Q(y)$ .

Gracias a Jyrki Lahtonen por señalar un problema con un argumento anterior.