$\pi(\mathbf{x})$ no genera traslaciones de partículas, genera traslaciones del campo, $\phi(\mathbf{x})$ , en $\mathbf{x}$ . Al menos, esa es la forma más común de interpretar el hecho de que los dos operadores obedezcan la relación de conmutación de igual tiempo: $$[\phi(\mathbf{x}),\, \pi(\mathbf{y})] = i\hbar \delta(\mathbf{x}-\mathbf{y}).$$ Nótese que la función delta sólo cubre las coordenadas espaciales, y el conmutador de igual tiempo funciona tanto en imágenes de Heisenberg como de Schödinger. Del mismo modo, los campos obedecen las mismas relaciones de conmutación de la imagen de Heisenberg con el Hamiltoniano que la posición y el momento en QM ordinaria: $$\begin{align} \dot{\phi}(\mathbf{x}) & = [\pi(\mathbf{x}), H] \\ \dot{\pi}(\mathbf{x}) & = [\phi(\mathbf{x}), H] \end{align}$$
Compárense los conmutadores canónicos anteriores con las relaciones del principio de correspondencia en QM ordinaria y QFT, respectivamente: $$\begin{align} \frac{\operatorname{d} \langle \mathbf{x} \rangle}{\operatorname{d} t} & = \frac{\langle \mathbf{p}\rangle}{m} \\ \frac{\partial \langle \phi(\mathbf{x}) \rangle}{\partial t} & = \langle \pi(\mathbf{x})\rangle. \end{align}$$ La única diferencia entre las relaciones es que la "densidad de masa" que estaría presente en un estudio de ondas clásicas en cuerdas o membranas ha sido absorbida en la definición de campo.
En cuanto a lo que significa, prefiero imaginar una membrana que oscila en una dirección transversal al espacio-tiempo que tiene una densidad de momento a sus oscilaciones, aunque eso es sólo una imagen para ayudar a organizar las propiedades, y no realmente una manera de atribuir "significado".
Todo lo anterior se refiere a lo que $\pi(\vec{x})$ 'hace' en QFT. Para una cantidad de interés que puedas calcular en términos del potencial vectorial de un campo, no busques más allá de la electrodinámica cuántica. Los campos en QED vienen dados por el potencial vectorial, $A_\mu(\mathbf{x})$ . La simetría gauge, y la falta de una derivada temporal de $A_0$ en el Hamiltoniano, hace que la teoría se comporte de forma un poco extraña con respecto a la cuantización. Si elegimos el gauge de Weyl, $A_0(\mathbf{x}) = 0$ para simplificar, entonces los campos son $\vec{A}(\mathbf{x})$ y los momentos canónicamente conjugados $\vec{\pi}(\mathbf{x})$ se definen de la forma habitual. El teorema clásico de correspondencia da es: $$\frac{\partial \left\langle \vec{A}(\mathbf{x})\right\rangle}{\partial t} = \left\langle \vec{\pi}(\mathbf{x})\right\rangle,$$ que se traduce en la definición clásica del campo eléctrico como: $$\vec{E} = - \left\langle \vec{\pi}(\mathbf{x})\right\rangle,$$ donde, para reiterar, estamos usando el gauge de Weyl donde el potencial eléctrico es idénticamente 0 en todas partes.
El generador de traslaciones para las partículas es, todavía, el operador de momento en el campo. Estoy un poco oxidado, y no tengo mis libros de texto a mano, así que puede que me equivoque al ordenar los operadores, pero el operador de momento para un campo escalar ordinario viene dado por: $$\vec{P} = -\int \operatorname{d}^3 x\, \pi(\mathbf{x}) \nabla \phi(\mathbf{x}).$$ Para reiterar: $\vec{P}$ es el momento espacio-temporal ordinario total transportado por el campo, y el generador de traslaciones espaciales de configuraciones del campo. $\pi(\mathbf{x})$ es la densidad de momento del campo en la dirección del campo.
