En el enfoque booleano-valorativo del forzamiento, se puede introducir un nuevo símbolo de predicado $\check M$ en el lenguaje de forzamiento, y luego definir ese $[[\tau\in\check M]]=\bigvee_{x\in M}[[\tau=\check x]]$ . Es decir, el valor booleano que $\tau$ está en $\check M$ es precisamente la medida en que es igual a algo en el modelo de tierra. Esta definición obedece a los axiomas de igualdad, por lo que se puede ampliar el lenguaje de forzamiento para incluir este nuevo predicado para el modelo básico.
La relación de forzamiento $p\Vdash\varphi$ sólo significa $p\leq[[\varphi]]$ identificando la condición $p$ con su copia en el álgebra de Boole, y por tanto $p\Vdash\tau\in\check M$ sólo significa que $p\leq[[\tau\in\check M]]$ tal y como lo he definido anteriormente. Se puede evitar el uso de valores booleanos mediante la formulación equivalente:
- $p\Vdash\tau\in\check M$ si y sólo si el conjunto de $q$ para el que existe $x\in M$ con $q\Vdash\tau=\check x$ es denso por debajo de $p$ .
De ello se deduce que siempre que $G$ es $M$ -genérico para $P$ entonces la colección de $\text{val}(\tau,G)$ para lo cual $p\Vdash\tau\in\check M$ es exactamente igual que $\text{val}(\check x,G)=x$ para $x\in M$ . Es decir, la interpretación de $\check M$ mediante un filtro genérico $G$ es precisamente $M$ que es como se desea.
Para tu segunda pregunta, creo que la definibilidad del modelo de suelo $M$ en su conjunto forzando extensiones $M[G]$ era un teorema reciente debido a Richard Laver, en su artículo Ciertos cardenales muy grandes no se crean en pequeñas extensiones forzadas utilizando una demostración que se me debe, y que también fue observada independientemente por W. Hugh Woodin. Este teorema es el punto de partida del tema de Geología teórica de conjuntos que presenté con Jonas Reitz y Gunter Fuchs, así como el trabajo de J. Reitz sobre El axioma del suelo . El sentido de este teorema es que no es necesario introducir el predicado $\check M$ ya que la clase que selecciona es una clase definible (mediante parámetros) en el lenguaje de la teoría de conjuntos. ¿A qué teorema del libro de Kanamori te refieres?
Si no tiene parámetros, entonces no es cierto en general que el modelo de suelo $M$ es definible en la extensión forzosa $M[G]$ . Una forma de ver esto es añadir dos reales de Cohen mutuamente genéricos $c$ y $d$ y considerar la extensión $M[c][d]$ que es una extensión forzada de $M$ de $M[c]$ y de $M[d]$ . Si $M[c]$ fueran una clase definible sin parámetros de $M[c][d]$ entonces el conjunto de los reales de $M[c]$ sería un conjunto definible sin parámetros en $M[c][d]$ y, por tanto, en el HOD de $M[c][d]$ . Pero el forzamiento es definible ordinalmente y homogéneo, por lo que el HOD de $M[c][d]$ debe estar contenido en $M$ una contradicción. Por lo tanto, $M[c]$ no es una clase definible sin parámetros en $M[c][d]$ . Pero es definible con parámetros, y también es (trivialmente) definible en el lenguaje donde se ha añadido un predicado para el modelo de suelo. Quizás sea esta última situación a la que te refieres.
