Ecuaciones de campo medio en la teoría BCS de la superconductividad

Question

En la teoría BCS, se toma el Hamiltoniano modelo

$$ \sum_{k\sigma} (E_k-\mu)c_{k\sigma}^\dagger c_{k\sigma} +\sum_{kk'}V_{kk'}c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow} $$

Este Hamiltoniano conserva claramente el número de partículas. Por lo tanto, esperamos que el estado fundamental tenga un número de partículas definido. Es posible que el estado básico sea degenerado, pero eso podría eliminarse perturbando $\mu$ .

Entonces, se hace una aproximación de campo medio. Se sustituye $$c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}$$

con $$\langle c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger\rangle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}+c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}\rangle-\langle c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger\rangle \langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}\rangle$$

Esto no tiene ningún sentido para mí. Esto parece estar diciendo que conocemos los términos $c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger$ y $c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}$ no fluctúan mucho en torno a sus valores medios. Pero también sabemos que en el estado básico real, los valores medios vienen dados por $\langle c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}\rangle=\langle c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger\rangle=0$ ya que el estado básico tendrá un número de partículas definido. Por tanto, las fluctuaciones en torno al valor medio no son pequeñas en comparación con éste.

¿Cómo puede justificarse este mezquino trato de campo?

Answer 1

En primer lugar, ¿por qué elegimos esos términos para poner los frenos? ¿Acaso sabemos de algún modo que son los términos que no fluctuarán mucho?

La motivación heurística es que el fenómeno de la superconductividad puede entenderse como el análogo no relativista del mecanismo de Higgs para el EM $U_{\text{EM}}(1)$ (esta idea explica las principales propiedades del superconductor, como la ausencia de resistividad, la expulsión del campo magnético y otras). Para el mecanismo de Higgs se necesita un condensado de algunas partículas. En el cuerpo sólido, los únicos candidatos son los electrones. La elección más simple del condensado es el condensado escalar (muy heurísticamente, requerimos la invariancia de Galilei en el superconductor). Por lo tanto, el único estado escalar acotado más simple permitido $|\psi\rangle$ se construye a partir del par de electrones con espín total cero, que puede imaginarse como dos fermiones que se mueven en direcciones opuestas: $$ |\psi\rangle = c^{\dagger}_{\mathbf k, \uparrow}c^{\dagger}_{-\mathbf k, \downarrow}|0\rangle $$ De hecho, esto se hace realidad cuando calculamos el vértice de cuatro fermiones en la teoría microscópica de las interacciones electrón-fonón. En efecto, partimos del Hamiltoniano de interacción $$ H_{\text{int}} = g\psi^{\dagger}\psi \varphi, $$ donde $\psi$ es el campo de electrones, mientras que $\varphi$ es el campo de fonones, y asumimos el segundo orden en $g$ diagramas de dispersión electrón-electrón; vamos a denotar sus momentos como $\mathbf p_{i}$ . Tras tediosos cálculos del diagrama correspondiente se comprueba que el vértice $\Gamma^{(4)}(\mathbf{p}_{1},\mathbf{p}_{2},\mathbf{p}_{3},\mathbf{p}_{4})$ (con $\mathbf{q} = \mathbf{p}_{1} + \mathbf{p}_{2}$ ) tiene el polo a momento cero $\mathbf q$ y espín total cero de los fermiones $1,2$ y $3,4$ o ( $1,4$ y $2,3$ ). El polo desaparece rápidamente cuando se amplía $|\mathbf q|$ .

Por último, dado que el vértice de 4 fermiones se expresa a través de dos partículas Green $G^{(2)}$ entonces la presencia del polo en $\Gamma^{(4)}$ significa la presencia del polo en $G^{(2)}$ . Esto significa que aparecen estados ligados de electrones.

En segundo lugar, ¿por qué no podemos decir inmediatamente $\langle c_{-k'\downarrow}c_{k'\uparrow}\rangle=\langle c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger\rangle=0$ ya que sabemos que t tendrá un número de partículas definido, y $c_{-k'\downarrow} c_{k'\uparrow}$ y $c_{k\uparrow}^\dagger c_{-k\downarrow}^\dagger$ d el número de partículas?

(Añadido) Utilicemos de nuevo la idea del mecanismo de Higgs. Está claro que el número de partículas no se conserva estrictamente en estado superconductor. Realmente, debido al SSB de $U_{\text{EM}}(1)$ el sistema pierde la definición del número de partícula conservado (al estar asociado a la corriente de invariancia de fase global) en el estado fundamental.

Microscópicamente la formación del condensado se argumenta de la siguiente manera: la presencia de los estados ligados de dos fermiones conduce a la inestabilidad del gas de electrones dentro del superconductor, y los fermiones se convierten en pares de Cooper. En realidad, para los bosones el estado de energía más bajo puede ser llenado por un número infinito de partículas, mientras que para los fermiones esto no es cierto debido al principio de Pauli. Esto (bajo algunas suposiciones, véase más adelante) conduce a la formación de un nuevo estado de vacío en el que el operador $\hat{c}^{\dagger}_{\mathbf k,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\mathbf k, \downarrow}$ tiene un VEV distinto de cero: $$ \langle \text{vac} | \hat{c}^{\dagger}_{\mathbf p,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\mathbf p, \downarrow}|\text{vac}\rangle = \Psi \neq 0 $$ No es difícil construir este estado: $$ |\text{vac}\rangle = \prod_{\mathbf k = \mathbf k_{1}...k_{\frac{N}{2}}}(u_{\mathbf k} + v_{\mathbf k}\hat{c}^{\dagger}_{\mathbf k,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\mathbf k, \downarrow})|0\rangle, \quad |v_{\mathbf k}|^{2} + |u_{\mathbf k}|^{2} = 1 $$ Este estado denominado el estado coherente realmente no tiene un número definido de partículas.

Para el operador de número de partículas $\hat{N} = \sum_{\mathbf k}\hat{c}^{\dagger}_{\mathbf k,\uparrow}\hat{c}^{\dagger}_{-\mathbf k, \downarrow}$ el VEV $\langle \text{vac}|\hat{N}|\text{vac}\rangle$ es $$ \tag 1 N = \langle \text{vac}|\hat{N}|\text{vac}\rangle \sim \sum_{\mathbf k}|v_{\mathbf k}|^{2}, $$ Por qué el número de partículas no es tan indefinido

Sin embargo, la raíz $\sqrt{\Delta N^{2}}$ de desviación cuadrática de mientras que la desviación cuadrática $\langle \text{vac}|(\hat{N} - N)^{2}|\text{vac}\rangle$ es $$ \tag 2 \Delta N^{2} = \langle \text{vac}|(\hat{N} - N)^{2}|\text{vac}\rangle = \sum_{\mathbf k}|u_{\mathbf k}|^{2}|v_{\mathbf k}|^{2} $$ es despreciable en el límite de gran número (y volumen) de partículas. En realidad, ambos $(1)$ y $(2)$ son proporcionales al volumen $V$ (obsérvese que sólo hay una suma sobre los números de onda $\mathbf k$ en $(2)$ ) y, por tanto $\sqrt{\Delta N^{2}} \sim \sqrt{V}$ que es despreciable en el límite de gran volumen. Parece que este argumento se publicó por primera vez en el artículo de BCS.

(Añadido) Esto significa que el estado del superconductor con buena precisión puede proyectarse sobre el estado con número de partículas definido $N$ . Precisamente, defina el estado fundamental dependiente de la fase $$ |\text{vac}(\theta)\rangle = |\text{vac}[c^{\dagger}_{\mathbf k, \uparrow/\downarrow} \to c^{\dagger}_{\mathbf k, \uparrow/\downarrow}e^{-i\theta}]\rangle $$ El estado con número de partículas definido $N$ se define como $$ |N\rangle = \int \limits_{0}^{2\pi} d\theta e^{i\hat{N}\theta}|\text{vac}(\theta)\rangle $$

Answer 2

Después de pensarlo un poco, creo que otra respuesta (y espero que mejor) podría ir en la línea siguiente, quizá más rigurosa. No obstante, no daré todos los detalles matemáticos, ya que requieren demasiada redacción.

En el corazón del tratamiento perturbativo de los problemas de muchos cuerpos se encuentra el teorema de Wick. Para la interacción de dos cuerpos de naturaleza fermiónica, establece que

$$\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}c_{3}c_{4}\right\rangle =\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle \left\langle c_{3}c_{4}\right\rangle -\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{3}\right\rangle \left\langle c_{2}^{\dagger}c_{4}\right\rangle +\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{4}\right\rangle \left\langle c_{2}^{\dagger}c_{3}\right\rangle $$

Como cualquier teorema, puede demostrarse rigurosamente. De hecho, la demostración no es tan engorrosa, y me remito a

• Danielewicz, P. (1984). Teoría cuántica de los procesos de no equilibrio, I . Anales de Física, 152(2), 239-304 . Véase el anexo A.

• Gaudin, M. (1960). Demostración simplificada del teorema de Wick en mecánica estadística . Física nuclear, 15, 89-91 . En francés.

donde la demostración es la misma en ambos documentos. El punto clave es que se necesita un estado gaussiano para demostrar el teorema, es decir, se necesita un operador estadístico de la forma $\rho=e^{-\sum\epsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}}$ . En cualquier otro caso la descomposición de Wick no funciona (o al menos yo no conozco tal descomposición). Es importante destacar que la demostración en las referencias anteriores sólo utiliza las propiedades de anticonmutación entre los parámetros $c$ de los operadores. Así que cada vez que se tiene un promedio estadístico hecho sobre estados gaussianos de algunos operadores anticonmutantes (es decir, fermiónicos), se aplica el teorema de Wick.

Ahora bien, la estrategia del tratamiento del campo medio es la siguiente. Escribir el Hamiltoniano (utilizo el símbolo $\sim$ para retirar integrales y/o sumas sobre todos los grados de libertad)

$$H\sim H_{0}+c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}c_{3}c_{4} \sim H_{0}+H_{\text{m.f.}}+\delta H$$

con $H_{0}$ el Hamiltoniano de la partícula libre (que puede escribirse en la forma $H_{0}\sim\epsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}$ en una base conveniente), $H_{\text{m.f.}}=\Delta c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}+\Delta^{\ast}c_{3}c_{4}$ el Hamiltoniano de campo medio, y $\delta H=c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}c_{3}c_{4}-H_{\text{m.f.}}$ la corrección del Hamiltoniano de campo medio.

El Hamiltoniano de campo medio se puede diagonalizar utilizando una transformación de Bogliubov, es decir, se puede escribir

$$H_{0}+H_{\text{m.f.}}=\sum_{n}\epsilon_{n}\gamma_{n}^{\dagger}\gamma_{n}$$

donde el $\gamma$ son algunos operadores fermiónicos que verifican

$$c_{i}=u_{ik}\gamma_{k}+v_{ik}\gamma_{k}^{\dagger}\\c_{i}^{\dagger}=u_{ik}^{\ast}\gamma_{k}^{\dagger}+v_{ik}^{\ast}\gamma_{k}$$

nota: existen algunas limitaciones impuestas a la $u$ y $v$ para que la transformación de Bogoliubov anterior preserve la relación de (anti)conmutación; en ese caso se habla de transformación canónica, véase

• Fetter, A. L., y Walecka, J. D. (1971). Teoría cuántica de los sistemas de muchas partículas . MacGraw-Hill.

para obtener más información sobre las transformaciones canónicas. Una vez que se conocen algunas propiedades del estado fundamental de campo medio, se puede demostrar que $\lim_{N\rightarrow\infty}\left\langle \delta H\right\rangle \rightarrow0$ cuando $N$ representa el número de grados de libertad fermiónicos, y la media estadística $\left\langle \cdots\right\rangle $ se realiza sobre el estado fundamental de campo medio, a saber $\left\langle \cdots\right\rangle =\text{Tr}\left\{ e^{-\sum\epsilon_{n}\gamma_{n}^{\dagger}\gamma_{n}}\cdots\right\} $ . Véase

• De Gennes, P.-G. (1999). Superconductividad de metales y aleaciones . Advanced Book Classics, Westview Press

para una derivación clara de este último resultado. De hecho, deGennes muestra cómo elegir el $u$ y $v$ para que la transformación de Bogoliubov diagonalice el Hamiltoniano de campo medio, y luego muestra que esta elección conduce a la mejor aproximación del estado fundamental a temperatura cero del Hamiltoniano interactuante (es decir, completo). La idea a tener en cuenta es que el tratamiento de campo medio funciona. No obstante, hasta ahora nos hemos limitado al formalismo de operadores. Cuando se trata de la teoría cuántica de campos y sus métodos, es preferible utilizar el teorema de Wick.

Así que ahora volvemos a la descomposición de Wick. Se puede manipular la media estadística y demostrar que

$$\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle =\text{Tr}\left\{ \rho c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\} \\=\text{Tr}\left\{ e^{-\varepsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}}c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\} =\text{Tr}\left\{ c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}e^{-\varepsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}}\right\} =e^{-2\varepsilon_{n}}\text{Tr}\left\{ e^{-\varepsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}}c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\} \\=e^{-2\varepsilon_{n}}\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle =0$$

utilizando la propiedad cíclica de la traza y la fórmula de Bakker-Campbell-Hausdorf para pasar la exponencial de derecha a izquierda de los dos operadores de creación. La cantidad debe ser cero porque es igual a sí misma multiplicada por una cantidad positiva $e^{-2\varepsilon_{n}}$ . La manipulación es la misma que se hace para el teorema de Wick, por lo que no lo escribo completo, consultar las referencias anteriores.

La conclusión es que, claramente, la cantidad $\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle $ es cero en la descomposición de Wick. Pero debido al problema de Cooper (o lo que aprendimos del tratamiento del campo medio), se sabe que no debemos tomar la media estadística sobre los fermiones libres $e^{-\sum\varepsilon_{n}c_{n}^{\dagger}c_{n}}$ pero sobre las cuasipartículas de Bogoliubov $e^{-\sum\epsilon_{n}\gamma_{n}^{\dagger}\gamma_{n}}$ ya que representan la aproximadamente verdadera (en el límite de grandes $N$ es exacto) estado básico. Dicho de otro modo, la superficie de Fermi no es el estado fundamental del problema, y la media estadística no debe tomarse sobre este estado fundamental irrelevante. En su lugar, deberíamos elegir la media estadística sobre las cuasipartículas de Bogoliubov $\gamma$ . En concreto, se tiene

$$\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle =\text{Tr}\left\{ e^{-\varepsilon_{n}\gamma_{n}^{\dagger}\gamma_{n}}c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\} \neq0$$

y esta cantidad no es cero, como se puede comprobar al escribir el $c$ en función del $\gamma$ 's. Es importante señalar que el teorema de Wick puede demostrarse rigurosamente para este operador estadístico (véase más arriba).

Esto completa la prueba de que la aproximación del campo medio puede hacerse rigurosa, y que se puede tomar la cantidad $\left\langle c_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right\rangle$ como parámetro de orden de una fase cuyo estado fundamental no está lleno de electrones libres, sino de cuasipartículas de Bogoliubov generadas por el $\gamma$ operadores. A este estado básico se le suele denominar mar de Cooper. Si se expande la exponencial con el $\gamma$ 's sobre el estado de cero electrones anotado $\left|0\right\rangle $ verás que acabas con algo como $e^{-\sum\epsilon_{n}\gamma_{n}^{\dagger}\gamma_{n}}\left|0\right\rangle \sim\prod\left(u+vc_{1}^{\dagger}c_{2}^{\dagger}\right)\left|0\right\rangle $ que es el BCS Ansatz. Utilizando notaciones rigurosas se puede hacer una demostración rigurosa de esta última afirmación.

Ahora bien, si se quiere hacer la derivación completamente rigurosa, se requiere demostrar el teorema de Wick, manipular el Hamiltoniano de campo medio para demostrar que la transformación de campo medio de Bogoliubov funciona bastante bien, y calcular la media estadística sobre el estado fundamental de Bogoliubov. Esto va directamente ... a lo largo de muchas muchas páginas que soy demasiado perezoso para escribir aquí.

Answer 3

Intentaré responder a la pregunta : ¿Por qué tenemos que ampliar el número de posibilidades para el estado básico? Supongo que este es el su problema. Antes de hacerlo, discutamos rápidamente la noción misma de estado fundamental, que en el caso de los fermiones se denomina mar de Fermi.

Al principio: la superficie de Fermi o las cuasipartículas

Así que al principio es una colección de fermiones, y la noción de Fermi superficie. Un elemento importante de la próxima discusión es la noción de cuasipartícula . En los sistemas de materia condensada, la superficie de Fermi es no construido a partir de electrones libres, o electrones desnudos, o electrones genuinos. Para entender cómo surge esta noción, tomemos un electrón libre, es decir, una partícula que sigue la ecuación de Dirac con carga $e$ y girar $1/2$ e introducirlo en un material cualquiera (un semiconductor o un metal, por ejemplo). En electrones cualquier físico de la materia condensada quiere decir que, en un sistema complejo que estudia, es imposible tener en cuenta todas las interacciones posibles que actúan sobre el electrón desnudo. La mayor parte de las interacciones serán de naturaleza bosónica (piénsese especialmente en los fonones). Así que uno espera que al tomar todas las interacciones bosónicas complicadas sobre el electrón desnudo fermiónico se obtenga una partícula compuesta que siga teniendo una estadística fermiónica, y es de esperar que se comporte como una ecuación de Schrödinger, posiblemente con energía cinética $E_{c}=\dfrac{p^{2}}{2m_{2}^{*}}+\dfrac{p^{4}}{4m_{4}^{*}}+\cdots$ con masas efectivas $m_{2}^{*}$ que se puede suponer $p$ -independiente y posiblemente $m_{2}^{*}\ll m_{4}^{*}$ tal que se tiene la ecuación habitual de Schrödinger.

Tenga en cuenta que

• la ecuación de Schrödinger es invariante con respecto a la estadística de la partícula que describe
• la construcción anterior puede hacerse un poco más rigurosa utilizando las herramientas de la teoría del campo efectivo y la renormalización

Lo importante es que estos electrones siguen siendo fermiones, por lo que se amontonan formando un mar de Fermi. A partir de ahora escribiremos electrones o cuasipartícula sin hacer distinción, ya que en la materia condensada sólo hay cuasipartícula. Una cuasipartícula de carga $e$ y girar $1/2$ se llamará electrón. Una superficie de Fermi es un objeto estable, como se ha discutido en otro pregunta . ¿Estable? Bueno, no con respecto al mecanismo de Cooper, que permite estados ligados de electrones que se generan en la parte superior de un Fermi de Fermi. Estos estados ligados son de carga $2e$ y su giro total hace una especie de bosones. También son cuasipartículas, pero las llamaremos pares de Cooper, en lugar de cuasipartícula de carga $2e$ y girar $1$ o $0$ .

Ahora que hemos identificado el estado básico de un metal como un mar de Fermi de cuasipartículas fermiónicas llamadas electrones, podemos intentar comprender cómo este estado básico se vuelve inestable y por qué debemos entonces tener en cuenta varios estados básicos, de naturaleza estadística posiblemente diferente, como el estado básico bosónico frente al fermiónico en un superconductor. La razón por la que necesitamos ampliar los estados básicos disponibles es claramente a la ruptura de simetría, como veremos a continuación.

Ruptura de simetría y espacio de estados básicos

Primero, piensa en la transición paraferromagnética. Antes de la transición (fase paramagnética) puedes elegir la orientación del espín como quieras: son aleatorios en el gas de electrones. Una bonita La superficie de Fermi es la misma para todos los electrones. los electrones.

Ahora viene la fase ferromagnética: el sistema elige alinear todos los espines en la dirección ascendente o descendente (por supuesto, la dirección no es y el sistema sigue siendo invariante en rotación a menos que se aplique un campo magnético. que se aplique un campo magnético, pero los espines de los electrones están polarizados). ¿Y la superficie de Fermi? Bueno, se convierte en dos ... Ahora hay una superficie de Fermi para los electrones con espín hacia arriba y una superficie de Fermi para los electrones de espín negativo. Así que el número de estados disponibles aumenta.

El vínculo con la ruptura de simetrías es claro: cuantas más simetrías, menos estados posibles permites. Digamos al revés: romper la simetría permite que existan más estados. Esto también es bastante sencillo a partir del siguiente argumento: una vez que permites una interacción responsable de la transición parra-ferro, hay que responder primero a la pregunta: ¿es la superficie de Fermi no polarizada o una de las superficies de Fermi polarizadas el verdadero estado básico? Así que necesitas una manera de comparar los estados bajos de espín no polarizado y espín polarizado. Así que claramente el número de estados bajos accesibles debe ser mayor una vez que una una transición de fase y una ruptura de simetría.

Ahora, sobre la superconductividad y la relación con la ruptura de simetría, I remito a este (sobre la conservación del número de partículas) y este (sobre el $\text{U }\left(1\right)\rightarrow\mathbb{Z}_{2}$ simetría ruptura de simetría en los superconductores). Lo importante es que el mecanismo de Cooper hace inestable la superficie de Fermi. ¿Cuál es el resultado? Una especie de condensado de Bose-Einstein de partículas cargadas (los pares de Cooper de carga $2e$ ) y algunos electrones siguen formando un condensado de Fermi-Dirac y por lo tanto un mar de Fermi, con menos fermiones que antes de la transición (por lo tanto el número de electrones no se conserva). Así que ahora los estados disponibles son i) el auténtico mar de Fermi formado por electrones, ii) el condensado de condensado de Bose-Einstein formado por todos los electrones emparejados mediante mecanismo de Cooper y iii) una mezcla de los dos Fermi-Dirac y condensados de Bose-Einstein (cuidado, la terminología es engañosa, un condensado de Bose-Einstein y un condensado de pares de Cooper no son realmente la lo mismo).

Desgraciadamente, el estado básico real es una especie de mezcla, pero a temperatura cero, se podría suponer que todos los electrones de conducción se han transformado en pares de Cooper (en particular, esto no puede ser cierto si se tiene un número impar de electrones para empezar, pero olvidemos de eso). Llamemos a esta complicada mezcla el par de Cooper para simplificar.

En cualquier caso, tenemos que comparar el mar de Fermi con el mar de Cooper de Cooper. Eso es precisamente lo que hacemos suponiendo un término como $\left\langle cc\right\rangle \neq0$ .

Un poco de matemáticas

Definimos una correlación como $\left\langle c_{1}c_{2}\right\rangle $ con operadores de creación o aniquilación. En una fase paramagnética, tenemos $$\left\langle N\right|c^{\dagger}c\left|N\right\rangle =\left\langle n_{\uparrow}\right|c_{\uparrow}^{\dagger}c_{\uparrow}\left|n_{\uparrow}\right\rangle +\left\langle n_{\downarrow}\right|c_{\downarrow}^{\dagger}c_{\downarrow}\left|n_{\downarrow}\right\rangle $$ como única correlación no evanescente, con $\left|N\right\rangle$ un mar de Fermi lleno de $N$ electrones. Obsérvese en ese caso los mares de Fermi polarizados $\left|n_{\uparrow,\downarrow}\right\rangle$ no tienen sentido, ya que hay no es necesario un grado de libertad interno asociado a los electrones ; o bien estos dos mares son las dos orillas del océano de Fermi no polarizado... Ahora, en la fase ferromagnética, las correlaciones $\left\langle n_{\uparrow}\right|c_{\uparrow}^{\dagger}c_{\uparrow}\left|n_{\uparrow}\right\rangle$ y $\left\langle n_{\downarrow}\right|c_{\downarrow}^{\dagger}c_{\downarrow}\left|n_{ \downarrow}\right\rangle$ empieza a tener sentido individualmente, y los estados de base con electrones polarizados también. Además, debemos comparar todos estos estados básicos no equivalentes. Una forma de comparar todos los posibles posibles es construir la matriz $$\left\langle \begin{array}{cc} c_{\uparrow}c_{\downarrow}^{\dagger} & c_{\uparrow}c_{\uparrow}^{\dagger}\\ c_{\downarrow}c_{\downarrow}^{\dagger} & c_{\downarrow}c_{\uparrow}^{\dagger} \end{array}\right\rangle =\left\langle \left(\begin{array}{c} c_{\uparrow}\\ c_{\downarrow} \end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{cc} c_{\downarrow}^{\dagger} & c_{\uparrow}^{\dagger}\end{array}\right)\right\rangle $$ donde la estado básico está un poco mal definido (es decir, no me refería a $\left|n_{\uparrow,\downarrow}\right\rangle$ y simplemente puse el global $\left\langle \cdots\right\rangle $ para simplificar). El hecho de que la construcción sea un producto tensorial (el símbolo $\otimes$ en el lado derecho sólo hace lo que aparece en el lado izquierdo) muestra claramente muestra que se pueden restaurar los diferentes estados básicos como se desee. En En cierto sentido, el problema de la definición de los diferentes estados bajo la alfombra, y sólo tienes que tratar con la matriz anterior. Está claro que los elementos diagonales sólo existen en la fase paramagnética y los elementos no diagonales sólo existen en el caso ferromagnético, pero esto ya no es un problema, ya que definimos un producto tensorial de varios estados básicos y nos preguntamos: ¿cuál es el bueno?

Ahora, para el superconductor, no se polarizan los espines del electrones, se crean unas correlaciones bosónicas sobre dos fermiónicos fermiónicas. Así que la elección natural para la matriz es $$\left\langle \begin{array}{cc} cc^{\dagger} & cc\\ c^{\dagger}c^{\dagger} & c^{\dagger}c \end{array}\right\rangle =\left\langle \left(\begin{array}{c} c\\ c^{\dagger} \end{array}\right)\otimes\left(\begin{array}{cc} c^{\dagger} & c\end{array}\right)\right\rangle $$ donde todavía, la parte diagonal existe ya en un metal simple, y la parte no diagonal aparece una vez que el sistema pasa a la fase superconductora. Claramente, si se llama $\left|N\right\rangle $ el condensado de Fermi-Dirac con $N$ electrón de carga $e$ y $c$ el operador que destruye un electrón en este Fermi entonces debes definir $\left\langle cc\right\rangle \equiv\left\langle N-2\right|cc\left|N\right\rangle \propto\left\langle N\right|cc\left|N+2\right\rangle \propto\left\langle N-1\right|cc\left|N+1\right\rangle $ (nótese que se puede hacer como se quiera, y esto tiene profundas implicaciones para la física de Josephson, pero esta no es la historia de hoy) para que exista la correlación. ¿Cuáles son los estados $\left|N-2\right\rangle $ ¿entonces? Bueno, está claro por el contexto: un mar de Fermi con dos electrones eliminados. Sin el mecanismo de Cooper, no tendríamos ni idea de lo que es esta bestia, pero gracias a él, sabemos que esto es sólo el inestable mar de Fermi con un par de Cooper eliminado debido a la acción de un fonón virtual.

Mientras que la transición parra-ferromagnética se observó en la competición entre espines no polarizados y polarizados, la transición normal-superconductora puede verse en la competición entre partícula y agujero frente a las mezclas partícula-agujero.

Acerca de la construcción de campo medio

Ahora, ¿cómo construimos el Hamiltoniano de campo medio? Simplemente utilizamos la término de interacción de dos cuerpos, y aplicamos la Teorema de Wick . Es decir, uno hace $$\left\langle c_{1}c_{2}c_{3}^{\dagger}c_{4}^{\dagger}\right\rangle =\left\langle c_{1}c_{2}\right\rangle \left\langle c_{3}^{\dagger}c_{4}^{\dagger}\right\rangle -\left\langle c_{1}c_{3}^{\dagger}\right\rangle \left\langle c_{2}c_{4}^{\dagger}\right\rangle +\left\langle c_{1}c_{4}^{\dagger}\right\rangle \left\langle c_{2}c_{3}^{\dagger}\right\rangle $$ válido para cualquier media tomada sobre estados gaussianos. Claramente, se tiene (sustituir los números por vectores de espín eventualmente) : los términos de emparejamiento de Cooper, el acoplamiento Heisenberg-ferromagnético y algún acoplamiento antiferromagnético (no discutido aquí). Normalmente, dado que un sistema realiza un estado básico, no necesitamos probar todos los canales. Para la superconductividad mantenemos el primer término en el lado derecho.

Como se explica en muchas otras páginas, el tratamiento de campo medio puede ser justificarse cuidadosamente en el caso de la superconductividad convencional. Véase por ejemplo este o este preguntas, o esta respuesta (en este página).