$S^1 \times S^1$ es homeomorfo al toroide

Question

La pregunta pide que se demuestre $S^1 \times S^1$ es homeomorfo a un toroide. He leído algunos otros mensajes aquí, pero la mayoría de ellos están demostrando que con "celosía" que no he aprendido. Esto es lo que hice, escribir una función $f: T/\sim \text{}\rightarrow S^1 \times S^1$

donde $T= [0,1] \times [0,1]/\sim$ con relación $(0,a)\sim(1,a)$ , $(b,0)\sim(b,1)$ para $a,b \in [0,1]$

y

$$f(x,y)=(\cos(2\pi x),\sin(2\pi x),\cos(2\pi y),\sin(2\pi y))$$

Y deseo demostrar que $f$ es un homeomorfismo. (Recordemos que, en clase, tengo que demostrar que $f$ es una biyección continua con inversa continua $f^{-1}$ .)

¿Cómo puedo mostrar $f$ es una biyección y qué es $f^{-1}$ ? Es que $f^{-1}(x,u,y,v)=(\mid \frac{1}{2\pi}\arccos(x)\mid,\mid \frac{1}{2\pi}\arccos(y)\mid)$

Answer 1

Por si sirve de algo, probablemente no utilizaría las coordenadas cartesianas para $S^1$ sino una coordenada polar,

$$f(x,y) = (2\pi x, 2\pi y) \mod 2\pi$$

Entonces la inversa es ligeramente más fácil, $f^{-1}(\alpha, \beta) = (\alpha/2\pi, \beta/2\pi)$