Demuestra que $\sin (x/2)+2\sin (x/4)\leq3\sqrt{3}/2$ para todos $x \in [0,2\pi]$

Question

Dado que $$f (x)=\sin (x/2)+2\sin (x/4)$$ Demuestre que $f (x)\leq3\sqrt{3}/2$ para todos $x \in [0,2\pi]$ .

Mi intento

$f (x)=\sin (x/2)+2\sin (x/4)$

$f' (x)=\frac {1}{2}\cos(x/2)+\frac {1}{2}\cos (x/4)$

$f' (x)=\frac {1}{2}\cos(x/2)+\frac {1}{2}\cos (x/4)$

$f' (x)=\frac {1}{2}(\cos(x/2)+\cos (x/4))$

$f' (x)=\cos(3x/4)\cos (x/4))$

$f'(x)=0$ $\implies$ $\cos(3x/4)\cos (x/4))=0$

$\cos(3x/4)=0\:$ o $\:\cos (x/4)=0$

$3x/4= \pi/2\:$ y así $\:x= 2\pi/3$ o $ x=2\pi$

$x/4= \pi/2\:$ y así $\:x= 2\pi $

¿Está bien mi trabajo? ¿Qué debo hacer ahora?

Answer 1

Por AM-GM obtenemos: $$\sin\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{4}=2\sin\frac{x}{4}\left(1+\cos\frac{x}{4}\right)=\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{\left(3-3\cos\frac{x}{4}\right)\left(1+\cos\frac{x}{4}\right)^3}\leq$$ $$\leq\frac{2}{\sqrt3}\sqrt{\left(\frac{3-3\cos\frac{x}{4}+3\left(1+\cos\frac{x}{4}\right)}{4}\right)^4}=\frac{3\sqrt3}{2}$$

Answer 2

Olvidaste el factor de 2 durante la suma de cosenos

es decir $\dfrac{1}{2}\left[cos{\dfrac{x}{2}}+cos{\dfrac{3x}{4}}\right]=cos{\dfrac{3x}{8}}cos{\dfrac{x}{8}}$

hazlo igual a cero obtendrás máximos en $\dfrac{4\pi}{3}$

Answer 3

La conclusión que debería haber extraído de $f'(x)=\frac12\left(\cos\left(\frac x2\right)+\cos\left(\frac x4\right)\right)$ era que $f'(x)=\cos\left(\frac{3x}8\right)\cos\left(\frac x8\right)$ . Por lo tanto, $f'(x)=0\iff x=\frac{4\pi}3$ . Resulta que $f''\left(\frac{4\pi}3\right)=-\frac{3\sqrt3}{16}<0$ . Por lo tanto, $f$ alcanza su máximo cuando $x=\frac{4\pi}3$ . Además, $f\left(\frac{4\pi}3\right)=\frac{3\sqrt3}2$ .

Answer 4

Ponga $\theta = \dfrac{x}{4} \implies \text{ We prove :} f(\theta) = \sin (2\theta)+2\sin(\theta) \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}, \theta \in [0,\pi/2]$ . Ponga $t = \sin(\theta)\implies t \in [0,1], f(t) = 2t\sqrt{1-t^2}+ 2t\implies f'(t)=2\sqrt{1-t^2}-\dfrac{2t^2}{\sqrt{1-t^2}}+2= 0 \iff t = 0, \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ . Tenemos $f(0) = 0, f(1) = 2, f(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ y este es el valor más grande y significa $f(t) \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Answer 5

Básicamente necesitamos encontrar los máximos de la función en el intervalo $x \in [0,2\pi]$

$$f (x)=\sin (x/2)+2\sin (x/4)$$ $$f' (x)=\frac {1}{2}\cos(x/2)+\frac {1}{2}\cos (x/4)$$ $$f' (x)=\cos(3x/8)\cos (x/8))$$

Ahora tenemos que encontrar las soluciones de $f'(x)=0$ en el intervalo dado y comprueba los máximos.

$\cos(3x/8)=0\:$ o $\:\cos (x/4)=0$

La única solución para esto en el intervalo dado es $$x=4 \pi/3\:$$ $$f (4 \pi/3)=3\sqrt{3}/2$$

Ahora comprobamos los puntos finales del intervalo para estar seguros.

$f (0)=0$ y $f(2 \pi)=2$

Así que.., $f (x)\leq3\sqrt{3}/2$ para todos $x \in [0,2\pi]$