cómo demostrar $f(x)=x^2$ es uniformemente continua en $[n,n+1/n^2]$

Question

Hasta ahora esto es lo que tengo. Establecer $\delta=1/(n^2-1)$ entonces $|x-y|<\delta\implies(x,y)=(n,n+1/n^2)$ entonces $|x^2-y^2|=(2n^3+1)/n^4<\epsilon$ para algunos $\epsilon$ . En este punto estoy atascado. ¿Sabes cómo puedo avanzar o tener un mejor enfoque?

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

Una función continua en un intervalo compacto es uniformemente continua.

Si $x,y\in [n,n+1/n^2]$ , $|x^2-y^2|=|x-y||x+y|\leq 2(n+1)|x-y|$ . Para cada $c>0$ , $x,y\in [n,n+1/n^2]$ y $|x-y|<{c\over{2n+2}}$ implica que $|x^2-y^2|<c$ .

Answer 2

Aunque se puede utilizar el teorema más general, supongo que usted está practicando, por lo que este es el argumento en la misma línea que su enfoque.

Para $x \in [n,n+1/n^2]$ , $x \leq n + \frac{1}{n^2}$ . Ahora, para cualquier $\epsilon>0$

$$|f(x)-f(y)| = |x^2-y^2| = |x+y||x-y| \leq 2(n+1/n^2)|x-y| < 2(n+1/n^2) \delta$$ siempre que $|x-y|<\delta$ . Por lo tanto, si necesitamos $\delta < \frac{\epsilon}{2(n+1/n^2)}$ entonces $|f(x)-f(y)| <\epsilon$ según se desee.