$\text{Ext}$ -grupos de láminas perversas con una estratificación fija

Question

Sea $X$ sea una variedad compleja con una buena estratificación $S$ y considerar la categoría $Perv_S(X)$ de láminas perversas con respecto a la estratificación dada (con perversidad media) que se encuentran en $D^b_S(X,k)$ donde $k$ es un campo. Por bueno quiero decir que el pushforward derivado de cualquier estrato de un complejo con cohomología construible es construible con respecto a la misma estratificación.

Quiero calcular el Yoneda- $\text{Ext}$ grupos para láminas perversas arbitrarias $F,G\in Perv_S(X)$ . Es cierto que $\text{Ext}^i_{Perv_S(X)}(F,G)=\text{Hom}^i_{D^b_S(X,k)}(F,G)$ para $i=0,1$ ya que esto es cierto para el corazón de cualquier $t$ -Estructura. Sé que esto es válido para $i>1$ si no fijamos una estratificación, ya que la categoría derivada acotada de $Perv(X)$ es equivalente a $D^b_c(X,k).$ ¿Se obtiene el mismo resultado con una estratificación buena fija, o quizá con algunas hipótesis adicionales?

Hay un artículo de Beilinson sobre este tema: " Sobre la categoría derivada de las láminas perversas ", donde identifica la categoría derivada acotada de $Perv(X)$ con $D^b_c(X,k)$ (y también en muchos otros ámbitos), y luego escribe:

a) La afirmación correspondiente para la categoría de láminas lisse a lo largo de una estratificación fija suele ser falsa,

pero no estoy seguro de si se refiere sólo al $l$ -caso de adicción.

Answer 1

No, no se trata de una $\ell$ -fenómeno anómalo.

Sea $X = \mathbb P^1$ , $S$ la estratificación con un estrato por lo que las láminas construibles con respecto a esta estratificación son lisse y los complejos construibles con respecto a esta estratificación complejos con cohomología lisse.

Sea $F = G = \mathbb Q[1]$ claramente construible con respecto a $S$ y perverso.

Entonces $Hom^2_{D^b_S(X,k) } (F,G) =Hom^2_{D^b(X,k) } (F,G) = H^2(X,\mathbb Q) = \mathbb Q$ pero $\operatorname{Perv}(X)$ no es más que la categoría de las láminas de lisse en $\mathbb P^1$ es decir, la categoría de los espacios vectoriales, y todos los grupos Ext superiores desaparecen.