¿Trayectoria elíptica o parabólica?

Question

Discuta si esta afirmación es correcta: "En ausencia de resistencia del aire, la trayectoria de un proyectil lanzado cerca de la superficie terrestre es una elipse, no una parábola".

¿Es correcta la afirmación anterior?

Hasta donde yo sé, una partícula proyectada desde la superficie terrestre sigue una trayectoria parabólica bajo aceleración constante (por supuesto una aproximación)

Uno de mis amigos señaló que en caso de aceleración variable, que sigue la ley del cuadrado inverso, la trayectoria es una elipse.

Entonces, ¿qué es lo correcto? Si efectivamente es una elipse, tengo problemas para deducir la ecuación de su trayectoria. ¿Podría alguien indicar una solución o un método para deducir la ecuación de la trayectoria real?

P.D. Si la trayectoria parabólica es una aproximación, entonces haciendo los cambios apropiados en la ecuación obtenida se debería obtener la ecuación de una parábola, ¿no?

Answer 1

Tanto una parábola como una elipse son secciones cónicas que puede construirse en un plano como todos los puntos en los que las distancias desde algún punto de referencia (el "foco") y alguna línea de referencia (la "directriz") tienen alguna relación $e$ (la "excentricidad"). Una elipse tiene $0<e<1$ una parábola tiene $e=1$ .

En un problema típico de introducción a la física del tipo "Billy lanza una pelota de béisbol", la distancia entre el foco y la directriz para la trayectoria "parabólica" podría ser de unos pocos metros. Si la trayectoria es secretamente una elipse debido a la gravedad terrestre, Leyes de Kepler predice que el otro foco de la elipse es el centro de masa de la Tierra, y la simetría exige que la trayectoria se aleje también sólo unos metros de ese punto. Eso significa que podemos estimar la excentricidad directamente. Usando la notación estándar,

Por Klaas van Aarsen [ GFDL o CC BY-SA 3.0 ], vía Wikimedia Commons

tenemos semieje mayor $a$ aproximadamente la mitad del radio de la Tierra $\rm 10^{6.5}\,m$ distancia del foco al extremo de la elipse $a-c$ del orden de unos pocos metros, y excentricidad $$ e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \frac ca \approx 1 - \mathcal O\left(10^{-6}\right). $$

Eso es un muy bueno aproximación de una parábola. Eso también sugiere que si quisiéramos preocuparnos por la diferencia entre una trayectoria parabólica y una elíptica a nivel de parte por mil, empezaríamos a preocuparnos por trayectorias en las que la distancia entre la trayectoria y el foco (o equivalentemente, a efectos de escala, la distancia entre los puntos de lanzamiento y aterrizaje de nuestro proyectil) de unos pocos kilómetros o decenas de kilómetros. Que es, de hecho, donde se empieza a oír hablar de gente que tiene en cuenta la curvatura de la Tierra en proyectos de ingeniería --- por ejemplo un puente colgante muy largo, donde las torres no pueden ser a la vez "todas verticales" y "todas paralelas".

Answer 2

Si la gravedad es uniforme -la fuerza tiene la misma magnitud y dirección en todas partes-, la trayectoria es una parábola. Esta es una muy buena aproximación para trayectorias que no van muy lejos.

Pero, de hecho, la fuerza no es perfectamente uniforme. En realidad apunta al centro de la tierra. Es más fuerte cerca del centro. La trayectoria para este caso es una elipse.

Una trayectoria parabólica típica toca el suelo antes de llegar muy lejos. Si no lo hiciera, sería una elipse muy larga y delgada.

Una parábola es una elipse infinitamente larga.

Para trayectorias típicas que tocan el suelo rápidamente, las trayectorias parabólicas y elípticas son casi idénticas.

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Editado para responder a los comentarios.

La rotación de la Tierra influye. Desde el punto de vista de un observador inercial que flota en el espacio, la velocidad inicial de una roca lanzada es aproximadamente la velocidad de rotación de la superficie terrestre en esa latitud.

La Tierra gira $360$ grados en $1$ día sideral = $85604.1$ seg, o alrededor de $0.0042$ grados/seg. Así que la gravedad no es uniforme. Se ha inclinado un poco al final de la trayectoria. Pero en un vuelo que dura sólo un par de segundos, no es suficiente para notarlo.

El observador en el espacio ve a un observador en tierra moviéndose lateralmente a la velocidad de la superficie terrestre. El observador en tierra sigue una trayectoria circular. En esos pocos segundos, se desvía de la línea recta a $0.0042$ grados/seg. En una buena aproximación, se mueve a velocidad uniforme en línea recta. Esto da el mismo resultado que si no se estuviera moviendo.

Si la roca cayera a través de la tierra y orbitara, seguiría una elipse vista por el observador espacial. No sería tan delgada como había pensado. Para el observador en la Tierra, el movimiento parecería complicado.

Así que gracias a Peter por señalarlo.

Answer 3

El problema actual

El punto clave aquí es " lanzado cerca de la superficie terrestre ".

Esa frase suele significar:

1. La aceleración gravitatoria es constante e igual a $\rm g$ .

2. El suelo puede considerarse una superficie plana y la fuerza gravitatoria es normal a la superficie.

Con estas 2 condiciones asumimos la gravedad como una fuerza constante que sólo actúa sobre la vertical ( $\rm y$ ), o

$$\rm F_{Gy}=mg=m \frac{d^2y}{dt^2} \tag{1}$$ $$\rm F_{Gx}=0=m \frac{d^2x}{dt^2} \tag{2}$$ Resolviendo estas 2 ecuaciones se obtiene $$y=\rm \frac{1}{2}gt^2+v_{0y}t+y_0 \tag{3}$$ Y $$\rm x=v_{0x}t+x_0 \tag{4}$$

Que es la forma parametrizada de un parábola con el tiempo $\rm t$ como parámetro.

Sin embargo, esto es sólo el visión local del problema lo que significa que sólo está considerando distancias cortas en comparación con el radio de la Tierra.

El problema general

Teniendo en cuenta que la Tierra es un objeto esférico, es posible demuestre que su fuerza gravitatoria es equivalente a la gravedad de una masa puntual situada en su centro. Las trayectorias de los objetos que se mueven como resultado de tales fuerzas obedecen a Leyes de Kepler sustituyendo el sol por el centro del objeto redondo.

La primera ley de Kepler dice que tales trayectorias son de hecho elipses (se podría demostrar resolviendo la segunda ley de Newton, pero no me molestaré si lo haces ;-)

La gran diferencia aquí es que la gravedad no se considera constante ni en magnitud (es inversamente proporcional a la distancia del objeto al centro de la Tierra) ni en dirección (apunta hacia el centro todo el tiempo).

Por lo tanto, antes de continuar la discusión con su amigo, asegúrese de que ustedes deciden si considerar " lanzado cerca de la superficie terrestre " o no.

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PS: con "arrojados cerca de la superficie terrestre" supongo que te refieres a distancias y altitudes cortas, perdona si me equivoco.

Answer 4

Cuando ves la afirmación habitual de que la trayectoria de un objeto lanzado es una parábola en ausencia de resistencia del aire se hace con una tierra plana y gravedad constante. A partir de esos supuestos, se puede deducir que la trayectoria es una parábola. La diferencia entre la elipse y la parábola viene dada porque la aceleración gravitatoria varía con la distancia desde el centro de la tierra. Ambas son buenas aproximaciones para velocidades razonables de lanzamiento de un objeto. A ese nivel de aproximación no se nota la diferencia.

En la dinámica newtoniana, las órbitas son secciones cónicas como elipses o parábolas en el campo gravitatorio correcto de una masa puntual. La órbita fuera de un cuerpo esféricamente simétrico es la misma que la órbita alrededor de una masa puntual. Si consideramos la Tierra como esféricamente simétrica, mientras no se pueda lanzar un objeto con velocidad de escape la órbita será elíptica, no parabólica. Nótese que tenemos dos trayectorias parabólicas diferentes en esta discusión. Una es parabólica en un sistema de coordenadas con suelo plano y gravedad constante. La otra es parabólica respecto al CM de la tierra y el proyectil con gravedad newtoniana propia. Todo lo que se requiere para una trayectoria parabólica en el segundo es que la energía total sea cero. La afirmación es cierta si 1) supones que la tierra es esféricamente simétrica y 2) no puedes lanzar un objeto con velocidad de escape. Yo pediría a alguien que hiciera esta afirmación que justificara que la diferencia entre la órbita elíptica y la parábola de aceleración constante de la tierra plana es mayor que el error creado por las asimetrías de la tierra. Sospecho que es cierto, pero habrá que trabajar un poco.

Answer 5

Tomemos un caso muy sencillo que ayuda a responder a la pregunta.

Un objeto es "arrojado" desde la Estación Espacial Internacional (que está "cerca" de la superficie terrestre y sin resistencia del aire). ¿Cuál es su trayectoria? Debería ser obvio que es elíptica . Por lo tanto, la declaración antes citada es correcto .