Ecuaciones para sistemas integrables

Question

Entonces, digamos que tenemos una variedad simpléctica sobre $\mathbb{C}$ , $M$ de dimensión $2n$ y $f_1,\ldots,f_n$ Funciones conmutativas de Poisson con $df_1\wedge\ldots\wedge df_n$ genéricamente distinto de cero. Supongamos además que las fibras del mapa $f:M\to\mathbb{C}^n$ determinado por el $f_i$ es un subconjunto abierto de una variedad abeliana y los campos vectoriales $X_{f_i}$ son lineales. Llamamos a tal cosa un sistema hamiltoniano completamente integrable algebraicamente.

Ahora bien, me han dicho que hay una definición de sistema integrable en las EDP que actúa como una especie de condición de estabilidad, aunque no la entiendo. También me han dicho que hay una forma de, a partir de un sistema integrable de EDP, construir un sistema hamiltoniano integrable (sólo hay que eliminar la condición de que las fibras estén en variedades abelianas), y que estos dos tipos de objetos deberían ser equivalentes.

Mis preguntas:

1) ¿Cuál es la formulación correcta de las EDP para que algo así funcione? (No sé prácticamente nada sobre las EDP, y estaría muy agradecido de que me indicaran una buena referencia, si es que tengo que leer demasiado para obtener una respuesta rápida y comprensible)

2) ¿Existe un método general para pasar de un sistema hamiltoniano completamente integrable desde el punto de vista algebraico, que es de naturaleza algebro-geométrica, a la elaboración explícita de las EDP? ¿Ayuda si se sabe que la variedad simpléctica es el haz cotangente de algo? ¿Y si la base es uniracional? ¿Racional?

Answer 1

No soy un experto en esto, pero ya que nadie responde:

un libro que definitivamente debería ayudar es esta gran introducción de Babelon, Bernard y Talon . También hay una antigua y muy técnica documento de Ben-Zvi y Frenkel donde aparentemente se hace algún tipo de construcción general, y hay una documento de Inoue, Vanhaecke y Yamazaki sobre la integrabilidad completa algebraica y las jerarquías integrables de las EDP destinadas a su segunda pregunta (especialmente la sección 6 para la relación).

Echando un vistazo a todo esto no estoy muy seguro de que exista un método explícito general para obtener las EDP (puedo estar equivocado) pero parece que se entienden algunos casos. Espero que esto ayude...

Answer 2

Existen muchas definiciones de ecuaciones "integrables", su definición actual es bastante limitante. Yo diría que lo que describes es un subconjunto de sistemas hamiltonianos. Cuando la mayoría de la gente dice "integrable" en las EDP y/o en los sistemas dinámicos, suele referirse a ecuaciones para las que se puede utilizar la transformada inversa de dispersión para construir una solución analítica, que es una clase de problemas mucho mayor que los sistemas hamiltonianos.

Answer 3

En cuanto a la 2), no soy un experto en algebraico sistemas integrables, pero ¿no debería ser al revés? Es decir, dado un sistema evolutivo integrable de EDP que además se supone que es hamiltoniano, se pueden considerar los puntos fijos de los flujos superiores (combinaciones lineales) asociados, y entonces las ecuaciones que describen estos puntos fijos (estas ecuaciones también se denominan ecuaciones estacionarias (superiores)) son hamiltonianas e integrables ellas mismas. En cuanto a una referencia sobre lo que acabamos de describir, puedes probar este libro y sus referencias.