Entonces, digamos que tenemos una variedad simpléctica sobre $\mathbb{C}$ , $M$ de dimensión $2n$ y $f_1,\ldots,f_n$ Funciones conmutativas de Poisson con $df_1\wedge\ldots\wedge df_n$ genéricamente distinto de cero. Supongamos además que las fibras del mapa $f:M\to\mathbb{C}^n$ determinado por el $f_i$ es un subconjunto abierto de una variedad abeliana y los campos vectoriales $X_{f_i}$ son lineales. Llamamos a tal cosa un sistema hamiltoniano completamente integrable algebraicamente.
Ahora bien, me han dicho que hay una definición de sistema integrable en las EDP que actúa como una especie de condición de estabilidad, aunque no la entiendo. También me han dicho que hay una forma de, a partir de un sistema integrable de EDP, construir un sistema hamiltoniano integrable (sólo hay que eliminar la condición de que las fibras estén en variedades abelianas), y que estos dos tipos de objetos deberían ser equivalentes.
Mis preguntas:
1) ¿Cuál es la formulación correcta de las EDP para que algo así funcione? (No sé prácticamente nada sobre las EDP, y estaría muy agradecido de que me indicaran una buena referencia, si es que tengo que leer demasiado para obtener una respuesta rápida y comprensible)
2) ¿Existe un método general para pasar de un sistema hamiltoniano completamente integrable desde el punto de vista algebraico, que es de naturaleza algebro-geométrica, a la elaboración explícita de las EDP? ¿Ayuda si se sabe que la variedad simpléctica es el haz cotangente de algo? ¿Y si la base es uniracional? ¿Racional?
