Ejercicio sobre los teoremas de Sylow

Question

Acabo de aprender los teoremas de Sylow y me gustaría que alguien me ayudara a utilizarlos. También soy principiante en teoría de grupos en general.

Este es el ejercicio:

Demostrar que si tenemos $G,H$ dos grupos con órdenes $56$ y $2^4 5^6$ respectivamente, entonces $G,H$ no son grupos simples.

Para $|G|=56=7* 2^3$ tenemos a partir de los teoremas de Sylow que $|Syl_7(G)|=1\pmod7$

También $|Syl_7(G)|=7k+1\mid|G|$ así $7k+1\mid8$ y debemos tener eso $|Syl_7(G)|=1$

así que $G$ tiene un único subgrupo normal 7-Sylow, por tanto $G$ no es sencillo.

¿Esta prueba es correcta?

¿Cómo puedo abordar la segunda parte del ejercicio?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $H$ sea un grupo simple de orden $2^45^6$ por el Teorema de Sylow, $n_5\equiv 1 \bmod 5$ y $n_5\mid16$ . Así pues, los posibles valores de $n_5$ es $1$ ou $16$ . Desde $H$ es simple, $n_5=16$ .

Por tanto, existe un homomorfismo $\phi:H\rightarrow S_{16}$ donde $\ker \phi\leq N_H(P)$ para algunos $P\in Syl_5(H)$ .
Desde $H$ es simple, $\ker \phi=1$ .
Así pues, tenemos $H\cong\phi(H)\leq S_{16}$ .
Esto significa que $|H|$ divide $16!$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

Tienes un problema con tu solución a $|G| = 56$ .

Denote por $n_k$ el número del $k$ -subgrupo bajo de $G$ .

Tenemos $n_7 | 8$ y $n_7=1 mod 7$ así $n_7 \in \{1,8\}$ .

Si $n_7 = 1$ como has dicho, hemos terminado.

En caso contrario, tenemos $8$ 7-subgrupos bajos , cada uno de orden $7$ por lo que cada una es cíclica y todas intersecan trivialmente ({e} ) , por lo que la $7$ -subgrupos bajos "contribuye " $8*6 = 48$ diferentes elementos, así $n_2$ debe ser igual a uno y hemos terminado.