Demostrar la continuidad de una función

Question

Sea $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^n}$ sea una función diferenciable. Definir $h:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^n}$ por:

$h(s,t) :=$ $\left\{\begin{matrix} \frac{p(s)-p(t)}{s-t}& \textrm{if } s \neq t\\ p'(s) & \textrm{if } s=t \end{matrix}\right.$

Demostrar que si $p'$ es continua en $t \in \mathbb{R}$ entonces $h$ es continua en $(t,t) \in \mathbb{R^2}$ .

¿Puede alguien orientarme sobre cómo probarlo? (es decir, teoremas útiles, por dónde empezar, etc.)

Answer 1

$p'$ es continuo $\implies$ $p$ es diferenciable $\implies$$ \lim_{s\\a t}{h(s,t)} $ exists and is equal to $ p'(t) \implica $ h is continuos when $ s=t$

Además, $p$ es diferenciable $\implies$ p es continuo $\implies h(s,t)=\frac{p(s)-p(t)}{s-t}$ es continua cuando $s\ne t$

Así que.., $h(s,t)$ es continua para todo $(s,t) \in \Bbb R^2$