¿Por qué la reducción del total de cartas (pool) no influye en la probabilidad de que me toque una carta determinada en la mano?

Question

Algunos amigos y yo tuvimos un acalorado debate sobre esto y todavía estoy bastante confuso.

El problema

Utilizaré un ejemplo de

• 8 tarjetas en una bolsa, Cada tarjeta tiene una letra, por ejemplo A,B,C,D,E,F,G,H.
• Usted roba 3 cartas .
• ¿Cuáles son las posibilidades de tarjeta específica (por ejemplo, B) en esa mano final (es decir, ¿cuáles son las probabilidades de que una de las cartas que tiene ahora sea la que quería)?

Mi lógica:

Pensaba que seguramente sería 1/8, luego 1/7 y después 1/6, ya que cada vez que se saca una carta hay menos cartas. Esto sería

1/8 + 1/7 + 1/6 = 43.5% chance.

Alguien me señaló que en la segunda, y tercera vez su tarjeta ya puede ser elegido, pero en mi cabeza esto no debería ser una razón por la que sus posibilidades empeoran ... pero estoy seguro de que esa es la clave cosa que no entiendo.

Dijeron que en realidad sigue siendo un 1/8 cada vez por lo que

1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 37.5%

Lo cual es correcto (ver simulación al final), y alguien más señaló que si extrapolas mi lógica a la elección de 8 cartas 1/8 + 1/7 + 1/6 + 1/5 + 1/4 + 1/3 + 1/2 + 1/1

Obtienes más del 200%, lo que obviamente es incorrecto.

La pregunta/confusión

¿Por qué la reducción no afecta (no aparece) en las matemáticas?

Creo que la "reducción" del fondo común debería repercutir en las matemáticas o al menos anularse, y eso es lo que me cuesta entender. ¿Por qué la reducción de la piscina aparentemente no hace ninguna diferencia en absoluto, parece en contradicción con lo que siento que aprendí del problema Monty Hall....

Incluso sentí la necesidad de simular y efectivamente *la respuesta fue 37,5%. Mi instinto me dice que la reducción podría llegar a ser estadísticamente relevante en algunos casos, pero mi cerebro dice que faltan (es decir, que se han anulado las matemáticas) arriba que explicarían que esto no es cierto. ¿Podría alguien ayudarme e iluminarme?

simulación: https://dotnetfiddle.net/ebTl5B

--- [Matemáticas completas] --- (¡Gracias Ethan!)

Añadido aquí, ya que hará más agradable que en los comentarios, pero usted querrá leer Ethans respuesta a continuación para saber por qué hacer esto.

$$\frac{1}{8} + (\frac{7}{8} * \frac{1}{7}) + (\frac{7}{8} * \frac{6}{7} * \frac{1}{6}) =$$ $$\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} =$$ $$\frac{3}{8} =$$ $$0.375$$

Answer 1

La respuesta de @JakeMirra es correcta y elegante. Este puede ayudarle a ver dónde se equivocó.

Prueba tu razonamiento con un ejemplo más pequeño. Supongamos que hay tres cartas en la baraja, te gusta una de ellas y te reparten dos. Está claro que hay una $1/3$ probabilidad de que la carta buena sea la que queda, por lo que a $2/3$ posibilidad de que lo tengas.

Tu lógica diría que tus posibilidades son $1/3 + 1/2 = 5/6$ .

He aquí cómo corregir ese cálculo. La probabilidad de que usted consiga la tarjeta buena primero es de hecho $1/3$ . Si tienes éxito la primera vez puedes irte a casa contento, ignorando lo que ocurra después. Si fracasas la primera vez, la probabilidad de que tengas éxito la segunda vez es $1/2$ pero eso sólo importa para el $2/3$ de las veces que te importa ese segundo sorteo. Así que la probabilidad de que tengas éxito la segunda vez (probabilidad $1/2$ ) dado que el primer sorteo fracasó (probabilidad $2/3$ ) es $$\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{3} .$$

Añada eso a la probabilidad de que lo haya conseguido la primera vez y obtendrá el resultado correcto. $2/3$ .

Answer 2

Una manera elegante de pensar en ello, es imaginar que todas las cartas son negras excepto una carta (la que quieres) es blanca. Imaginemos que selecciona tres cartas antes de se determinan los colores de las cartas. Así que eliges tres cartas. Y luego una de las ocho cartas, al azar, se pinta de blanco. Entonces, claramente, la probabilidad de pintar una de tus tres cartas es de 3/8, y la probabilidad de pintar una de las cinco cartas que no elegiste es de 5/8.